Question

9．如圖所示，光滑水平面上固定一半徑為R的光滑水平圓形軌道，過圓心O相垂直的兩虛線交圓弧于A、B、C、D四點(diǎn)，質(zhì)量為M的乙球靜置于B處，質(zhì)量為m的甲球從A處沿圓弧切線方向以速度Vo開始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B處與乙球發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間很短可忽略不計(jì)，碰撞為彈性碰撞，兩小球可視為質(zhì)點(diǎn)．當(dāng)乙球剛運(yùn)動(dòng)到D處時(shí)，兩小球發(fā)生第二次碰撞．求：
（1）第一次碰撞前甲所受軌道彈力的大�。�
（2）甲、乙兩球質(zhì)量之比$\frac{m}{M}$；
（3）甲與乙第二次碰撞后各自速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）對(duì)甲受力分析，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）由題分析知，甲與乙第一次碰撞后必反向運(yùn)動(dòng)，速度大小必相等，碰撞過程中，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；
（3）設(shè)甲、乙第二次碰撞后各自速度大小為v_甲2、v_乙2，碰撞過程中，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律列式即可求解；

解答 解：（1）甲與乙第一次碰撞前，對(duì)甲受力知受重力和軌道的支持力F_N，由牛頓第二定律：
${F}_{N}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
（2）由題分析知，甲與乙第一次碰撞后必反向運(yùn)動(dòng)，速度大小必相等，設(shè)甲、乙第一次碰撞后速度大小分別為v_甲1、v_乙1，以向右為正方向，有：
v_甲1=v_乙1             
由動(dòng)量守恒定律：mv₀=m（-v_甲1）+Mv_乙1
由能量守恒定律：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{甲1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{乙1}}^{2}$
解得：v_甲1=v_乙1=$\frac{{v}_{0}}{2}$，$\frac{m}{M}=\frac{1}{3}$                 
（3）設(shè)甲、乙第二次碰撞后各自速度大小為v_甲2、v_乙2，
由動(dòng)量守恒定律：mv_甲1+M（-v_乙1）=mv_甲2+Mv_乙2
由能量守恒定律：$\frac{1}{2}m{{v}_{甲1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{乙1}}^{2}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{甲2}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{乙2}}^{2}$
解得：v_甲2=-v₀，v_乙2=0 
即甲與乙第二次碰撞后各自速度大小分別為v₀和0．
答：（1）第一次碰撞前甲所受軌道彈力的大小為$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$：
（2）甲、乙兩球質(zhì)量之比$\frac{m}{M}$為$\frac{1}{3}$；
（3）甲與乙第二次碰撞后各自速度的大小分別為v₀和0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)量守恒定律及能量守恒定律的應(yīng)用，能夠知道甲與乙第一次碰撞后必反向運(yùn)動(dòng)，速度大小必相等，難度適中．