Question

4．如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置．兩個質量均為m的小球a、b以不同的速度進入管內，a通過最高點A時，對管壁上部的壓力為3mg，b通過最高點A時，對管壁下部的壓力為0.75mg．
（1）分別畫出a、b在A點的受力圖．
（2）分別計算a、b在A點的速度大�。�
（3）求a、b兩球落地點間的距離．

Answer 1

分析 （1）受力分析受重力和彈力即可
（2）a球到達最高點時，管壁對球的彈力方向向下，大小為3mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出a球在最高點速度．
b球到達最高點時，管壁對球的彈力方向向上，大小為0.75mg，由重力和彈力提供向心力，由牛頓第二定律求出b球在最高點速度．
（3）兩球從最高點飛出后均做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，由高度2R求出運動時間．水平方向做勻速直線運動，由速度和初速度求解水平位移，a、b兩球落地點間的距離等于位移之差．

解答 解：
（1）受力分析如圖所示
（2）以a球為對象，設其到達最高點時的速度為v_a，根據(jù)向心力公式有：
         $mg+{F}_{a}=\frac{{mv}_{a}^{2}}{R}$    又F_a=3mg  
    代入解得${v}_{a}=2\sqrt{gR}$
以b球為對象，設其到達最高點時的速度為v_b，根據(jù)向心力公式有
         $mg-{F}_=m\frac{{v}_^{2}}{R}$   
        又F_b=0.75mg   即$\frac{1}{4}mg=\frac{{mv}_^{2}}{R}$
    所以   ${v}_=\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
（3）a、b兩球脫離軌道的最高點后均做平拋運動，所以a、b兩球的水平位移分別為：
      ${s}_{a}={v}_{a}t=2\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=4R$
      ${s}_={v}_t=\frac{1}{2}\sqrt{gR}×\sqrt{\frac{4R}{g}}=R$
故a、b兩球落地點間的距離△s=s_a-s_b=3R．
答：（1）受力分析可知如圖
（2）a球在最高點速度為$2\sqrt{gR}$．b球在最高點速度$\frac{1}{2}\sqrt{gR}$
（3）a、b兩球落地點間的距離為3R

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律和圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵