Question

17．設(shè)宇宙中某一小行星自轉(zhuǎn)較快，但仍可近似看作質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，宇航員用彈簧測力計稱量一個相對自己靜止的小物體的重量，第一次在極點處，彈簧測力計的讀數(shù)為F₁=F₀；第二次在赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為F₂=$\frac{{F}_{0}}{2}$．假設(shè)第三次在赤道平面內(nèi)深度為$\frac{R}{2}$的隧道底部，示數(shù)為F₃；第四次在距星表高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中，示數(shù)為F₄，已知均勻球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則以下判斷正確的是（　　）

• A． F₃=$\frac{{F}_{0}}{4}$，F(xiàn)₄=$\frac{{F}_{0}}{4}$
• B． F₃=$\frac{{F}_{0}}{4}$，F(xiàn)₄=0
• C． F₃=$\frac{15{F}_{0}}{4}$，F(xiàn)₄=0
• D． F₃=4F₀，F(xiàn)₄=$\frac{{F}_{0}}{4}$

Answer 1

分析 計算質(zhì)量均勻分布的球體對物體的萬有引力時，可以近似看做是質(zhì)點之間的萬有引力，由萬有引力定律分布寫出幾種不同的情況下的表達式，然后結(jié)合向心力的表達進行比較即可．

解答 解：設(shè)該行星的質(zhì)量為M，則質(zhì)量為m的物體在極點處受到的萬有引力：${F}_{1}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$=F₀
由于球體的體積公式為：V=$\frac{4π{r}^{3}}{3}$
由于在赤道處，彈簧測力計的讀數(shù)為F₂=$\frac{{F}_{{\;}_{0}}}{2}$．則：${F}_{n2}={F}_{1}-{F}_{2}=\frac{1}{2}{F}_{0}=m{ω}^{2}•R$
所以半徑$\frac{R}{2}$以內(nèi)的部分的質(zhì)量為：$M′=\frac{（\frac{R}{2}）^{3}}{{R}^{3}}•M$=$\frac{1}{8}M$
物體在$\frac{R}{2}$處受到的萬有引力：${F}_{3}′=\frac{GM′m}{（\frac{R}{2}）^{2}}=\frac{1}{2}{F}_{1}$=$\frac{1}{2}{F}_{0}$
物體需要的向心力：${F}_{n3}=m{ω}^{2}•\frac{R}{2}=\frac{1}{2}m{ω}^{2}R=\frac{1}{4}{F}_{0}$
所以在赤道平面內(nèi)深度為$\frac{R}{2}$的隧道底部，示數(shù)為：F₃=${F}_{3}′-{F}_{n3}=\frac{1}{2}{F}_{0}-\frac{1}{4}{F}_{0}=\frac{1}{4}{F}_{0}$
第四次在距星表高度為R處繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中時，物體受到的萬有引力恰好提供向心力，所以彈簧秤的示數(shù)為0．
所以選項B正確，選項ACD錯誤．
故選：B

點評 解決本題的關(guān)鍵知道在行星的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．同時要注意在繞行星做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星中時物體處于完全失重狀態(tài)．