Question

如圖所示，水平面上固定有平行導(dǎo)軌，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向豎直向下．同種合金做的導(dǎo)體棒ab、cd橫截面積之比為2：1，長(zhǎng)度和導(dǎo)軌的寬均為L(zhǎng)，ab的質(zhì)量為m，電阻為r，開始時(shí)ab、cd都垂直于導(dǎo)軌靜止，不計(jì)摩擦．給ab一個(gè)向右的瞬時(shí)沖量I，在以后的運(yùn)動(dòng)中，cd的最大速度V_m、最大加速度a_m、產(chǎn)生的電熱各是多少？

Answer 1

分析：首先分析兩棒的受力情況，來(lái)判斷它們的運(yùn)動(dòng)情況：給ab沖量后，ab獲得速度向右運(yùn)動(dòng)，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而減速，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，都開始做勻速運(yùn)動(dòng)，所以開始時(shí)cd的加速度最大，最終cd的速度最大，全過程系統(tǒng)動(dòng)能的損失都轉(zhuǎn)化為電能，電能又轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，先根據(jù)電阻定律求出兩棒的電阻之比，得到它們產(chǎn)生的熱量之比．
根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒求出最大速度v_m．
根據(jù)法拉第定律、歐姆定律和安培力公式求出cd的最大加速度a_m．
根據(jù)能量守恒求出產(chǎn)生的電熱．

解答：解：給ab沖量后，ab獲得速度向右運(yùn)動(dòng)，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，cd受安培力作用而加速，ab受安培力而減速，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，都開始做勻速運(yùn)動(dòng)，所以開始時(shí)cd的加速度最大，最終cd的速度最大，全過程系統(tǒng)動(dòng)能的損失都轉(zhuǎn)化為電能，電能又轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．
由于ab、cd橫截面積之比為2：1，材料和長(zhǎng)度相同，所以根據(jù)電阻定律得知，它們的電阻之比為1：2，質(zhì)量之比為2：1．所以cd棒的質(zhì)量為

1

2

m．
由題，由動(dòng)量定理得：ab的初速度為v₁=

I

m

，兩棒組成的系統(tǒng)所受的合外力為0，動(dòng)量守恒，則有：
  mv₁=（m+

1

2

m）v_m
解得，最后的共同速度為：v_m=

2I

3m

，
開始運(yùn)動(dòng)時(shí)又有：E=BLv₁，I=

E

r+2r

，F(xiàn)=BIL，a_m=

F

m 2

=

2F

m

，解得：a_m=

2B2L2I

3m2r

．
據(jù)焦耳定律得知：Q=I²Rt∝R，所以cd上產(chǎn)生的電熱應(yīng)該是回路中產(chǎn)生的全部電熱的

2

3

．
系統(tǒng)統(tǒng)動(dòng)能的損失為：△E_k=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

(m+

1

2

m)

v

2 m

=

I2

6m

，
由能量守恒定律可知，系統(tǒng)產(chǎn)生的電熱總量為：Q=△E_k=

I2

6m

，
其中cd上產(chǎn)生電熱Q_cd=

2

3

Q=

I2

9m

．
答：在以后的運(yùn)動(dòng)中，cd的最大速度V_m、最大加速度a_m、產(chǎn)生的電熱各是

2I

3m

，

2F

m

，

I2

9m

．

點(diǎn)評(píng)：本題以雙桿模型，分析兩棒的運(yùn)動(dòng)情況是解題至關(guān)重要的步驟，再根據(jù)電磁感應(yīng)和力學(xué)的規(guī)律求解．