Question

13．如圖，粗細(xì)不計(jì)的半圓管豎直固定在水平面上，其中直徑AB也豎直，B點(diǎn)與水平面相切，半圓管內(nèi)壁光滑，半徑r=0.4m．一大小不計(jì)的小球質(zhì)量m=0.4kg，沿半圓管從A點(diǎn)飛出后落在水平面上的某點(diǎn)M上，重力加速度g=10m/s²．則：
（1）若小球從A點(diǎn)飛出時(shí)恰好與管內(nèi)壁均無(wú)壓力，求小球落點(diǎn)M到B點(diǎn)間距離．
（2）若小球落點(diǎn)M到B點(diǎn)間距離為0.4m，求小球從A點(diǎn)飛出時(shí)對(duì)管內(nèi)壁的壓力．

Answer 1

分析 （1）小球到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)A時(shí)恰好對(duì)管壁無(wú)壓力，由重力提供小球所需要的向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度．小球飛出軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解小球飛出軌道到落地點(diǎn)M到B點(diǎn)的水平距離；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出小球經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)的速度．在A點(diǎn)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對(duì)小球的支持力，再由牛頓第三定律得到小球?qū)�軌道的壓力�?/p>

解答 解：（1）小球從A點(diǎn)飛出時(shí)恰好與管內(nèi)壁均無(wú)壓力，飛出時(shí)速度為v，由牛二得：
mg=$\frac{m{v}^{2}}{r}$
解得 v=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=0.4s
x=vt=0.8m
（2）小球落點(diǎn)M到B點(diǎn)間距離為0.4m，小于x=0.8m，因此從A點(diǎn)飛出時(shí)速度小于v=2m/s，小球與下內(nèi)壁接觸，受到支持力．由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得：
mg-F_N=$\frac{m{v’}^{2}}{r}$
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
x’=v’t=0.4m
解得：F_N=3N
由牛三知：小球從A點(diǎn)飛出時(shí)對(duì)管內(nèi)壁的壓力大小為3N，方向豎直向下
答：（1）若小球從A點(diǎn)飛出時(shí)恰好與管內(nèi)壁均無(wú)壓力，小球落點(diǎn)M到B點(diǎn)間距離為0.8m．
（2）若小球落點(diǎn)M到B點(diǎn)間距離為0.4m，小球從A點(diǎn)飛出時(shí)對(duì)管內(nèi)壁的壓力為3N．

點(diǎn)評(píng) 本題是向心力知識(shí)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用，對(duì)于向心力，關(guān)鍵通過(guò)分析受力，確定向心力的來(lái)源，并能把握最高點(diǎn)的臨界條件．