Question

某興趣小組設(shè)計(jì)了一種實(shí)驗(yàn)裝置，用來(lái)研究碰撞問(wèn)題，其模型如右圖所示。用完全相同的輕繩將N個(gè)大小相同、質(zhì)量不等的小球并列懸掛于一水平桿，球間有微小間隔，從左到右，球的編號(hào)依次為1、2、3…….N，球的質(zhì)量依次遞減，每個(gè)球的質(zhì)量與其相鄰左球質(zhì)量之比為k(k＜1)。將1號(hào)球向左拉起，然后由靜止釋放，使其與2號(hào)球碰撞，2號(hào)球再與3號(hào)球碰撞……所有碰撞皆為無(wú)機(jī)械能損失的正碰。并假設(shè)所有的球作為主動(dòng)球完成一次碰撞后均由于某種原因與繩脫離并作自由落體運(yùn)動(dòng)。(不計(jì)空氣阻力，忽略繩的伸長(zhǎng)，g取10 m/s²)?
（1）設(shè)與n+1號(hào)球碰撞前，n號(hào)球的速度為v_n，求n+1號(hào)球被碰撞后瞬間的速度。?
（2）若N=5，在1號(hào)球向左拉高h的情況下，要使5號(hào)球碰撞后升高16h（16h小于繩長(zhǎng)），問(wèn)k值為多少？

Answer 1

(1) v _n+1′= （2）k=-1≈0.414

（1）設(shè)n號(hào)球質(zhì)量為m_n，n+1號(hào)球質(zhì)量為m_n+1，碰撞后的速度分別為v_n′、v_n+1′，取水平向右為正方向，據(jù)題意有n號(hào)球與n+1號(hào)球碰撞前的速度分別為v_n、0，且m_n+1=km_n?     
根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有m_nv_n=m_nv_n′n+km_nv _n+1′①?
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有m_nv_n²=m_nv _n′²+km_nv _n+1′²       ②?  
由①②得v _n+1′=(v _n+1′=0舍去)?   
（2）設(shè)1號(hào)球擺至最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒定律有?m₁gh=m₁v₁² ④?? 
解得              v₁= ⑤? 
同理可求5號(hào)球碰后瞬間的速度?v₅= ⑥??
設(shè)n+1號(hào)球與n+2號(hào)球碰前的速度為v_n+1??據(jù)題意有v_n+1=v _n+1′[
v_n+1=ⁿv₁ ⑦?     
N=n+1=5時(shí)，v₅=（）⁴v₁    ⑧?    
由⑤⑥⑧三式得?        k=-1≈0.414(k=--1舍去)    ⑨?