Question

18．如圖所示，ABCDF為一絕緣光滑軌道，豎直放置在方向水平向右的勻強電場中，電場強度大小為E．AB面水平，BCDF是半徑為R的圓形軌道，B為圓心正下方的最低點，D為圓心正上方的最高點．今有一個帶正電小球在電場力作用下由靜止從A點開始沿軌道運動，小球受到的電場力和重力大小相等，小球的電量為q．求：
（1）若AB間的距離為4R，則小球在運動過程中的最大動能有多大？
（2）若AB間的距離為4R，則小球通過最高點D時的對軌道的壓力有多大？
（3）若小球能沿軌道做圓周運動到達接近水平軌道的F點．則AB間的距離至少要多大？

Answer 1

分析 （1）小球在重力和電場力的復(fù)合場中，有一個等效最高點與等效最低點，當小球在等效最低點的時候，小球的動能最大；
（2）要使小球在圓軌道上做圓周運動，小球在運動到D點的過程中，重力和電場力做功，根據(jù)動能定理以及牛頓第二定律即可解答；
（3）使小球在圓軌道上做圓周運動，小球在“最高”點不脫離圓環(huán)．這“最高”點并不是D點，可采用等效重力場的方法進行求解．對小球受力分析可知，小球在混合場中的最高點，此時小球的速度應(yīng)該為零，在由動能定理可以求得AB間的距離．

解答 解：（1）重力場和電場合成等效重力場，其方向為電場力和重力的合力方向，與豎直方向的夾角（如圖所示）$tanθ=\frac{mg}{qE}=1$
得：θ=45°
所以小球在BC之間且小球與圓心連線與豎直方向成θ=45°的位置動能最大         
（2）從A點到最高點D，據(jù)動能定理有：
$Eq4R-mg2R=\frac{1}{2}m{v^2}$
$v=2\sqrt{gR}$
在D點重力和軌道的支持力提供向心力，則：
${F}_{N}+mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：F_N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力也�?mg
（3）等效重力加速度：$g'=\frac{F_合}{m}=\frac{{\sqrt{{{（mg）}^2}+{{（qE）}^2}}}}{m}=\sqrt{2}g$
在等效重力場的“最高”點，小球剛好不掉下來時有：$mg'=m\frac{v^2}{R}$$v=\sqrt{gR'}=\sqrt{\sqrt{2}Rg}$
從A到等效重力場的“最高”點，由動能定理有：$qE（L-Rsin{45^O}）-mg（R+Rcos{45^O}）=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
解得：$L=\frac{{mgR（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}mgR+qE\frac{{\sqrt{2}}}{2}R}}{qE}=（1+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}）R$
答：（1）小球在BC之間且小球與圓心連線與豎直方向成θ=45°的位置動能最大；
（2）若AB間的距離為4R，則小球通過最高點D時對軌道的壓力是3mg；
（3）AB間的距離至少為$（1+\frac{3\sqrt{2}}{2}）R$．

點評 考查圓周運動最高點的最小速度，同時運用動能定理解題．小球在混合場中的運動，關(guān)鍵分析清楚小球的受力的情況，找到小球在混合場中的最高點，在最高點時球的速度的大小是最小的．