Question

17．如圖所示，某一空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場．左側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小為E，方向水平向右，電場寬度為L；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外．右側(cè)區(qū)域勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向垂直紙面向里，其右邊界可向右邊無限延伸．一個質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子（重力不計）從電場左邊界上的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動，穿過中間的磁場區(qū)域
后進(jìn)入右側(cè)磁場區(qū)域．已知粒子在中間磁場區(qū)域運(yùn)動經(jīng)歷時間$\frac{πm}{3qB}$后，第一次經(jīng)過兩磁場邊界的位置為P點(diǎn)（圖中未畫出）．求：
（1）帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率v；
（2）中間磁場區(qū)域的寬度d；
（3）請在圖中畫出帶電粒子從O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動至第二次經(jīng)過P點(diǎn)的過程中運(yùn)動軌跡的示意圖并求出此過程經(jīng)歷的總時間t．

Answer 1

分析 （1）帶正電的粒子在電場中加速，由動能定理可以求出粒子的速度；理即可求解帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率；
（2）粒子在磁場中由洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出軌跡的半徑．根據(jù)幾何關(guān)系求解中間磁場區(qū)域的寬度；
（3）先求出在電場中運(yùn)動的時間，再求出在兩段磁場中運(yùn)動的時間，三者之和即可帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動到第二次回到O點(diǎn)所用時間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中加速，由動能定理得：
qEL=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；          
（2）粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得粒子軌道半徑：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
粒子在中間磁場做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
由題意“粒子在中間磁場區(qū)域運(yùn)動經(jīng)歷時間$\frac{πm}{3qB}$后，第一次經(jīng)過兩磁場邊界的位置為P點(diǎn)”可知，粒子第一次在中間磁場的運(yùn)動時間：
t=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角：θ=$\frac{π}{3}$=60°，
中間磁場區(qū)域的寬度為：
d=Rsin60°=$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；        
（3）帶電粒子從O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動至第二次經(jīng)過P點(diǎn)過程，
粒子運(yùn)動軌跡如圖所示，粒子在電場中做勻變速直線運(yùn)動，
運(yùn)動時間：t₁=3$\frac{v}{a}$=3$\frac{v}{\frac{qE}{m}}$=3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$，
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在中間磁場中運(yùn)動時間為：t₂=3×$\frac{πm}{3qB}$=$\frac{πm}{qB}$，
在右側(cè)磁場中運(yùn)動時間為：t₃=$\frac{θ′}{360°}$T′=$\frac{300°}{360°}$×$\frac{2πm}{q•2B}$=$\frac{5πm}{6qB}$，
則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時間為：t=t₁+t₂+t₃=3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{11πm}{6qB}$；
答：（1）帶電粒子在磁場中運(yùn)動的速率為$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$；
（2）中間磁場區(qū)域的寬度為$\frac{1}{2B}$$\sqrt{\frac{6mEL}{q}}$；
（3）帶電粒子從O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動至第二次經(jīng)過P點(diǎn)的過程中運(yùn)動軌跡的示意圖如圖所示，此過程經(jīng)歷的總時間為3$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{11πm}{6qB}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動的問題，靜止的帶點(diǎn)粒子在電場作用下做勻加速直線運(yùn)動，在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．