Question

17世紀(jì)初，開普勒提出的行星運(yùn)動(dòng)定律指出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律后，人們迫切想了解這一規(guī)律的本質(zhì)，之后很多的學(xué)者提出各種觀點(diǎn)，最終由牛頓的萬(wàn)用引力定律揭開了天體運(yùn)動(dòng)的神秘面紗．牛頓首先從太陽(yáng)對(duì)行星的引力出發(fā)，憑借其運(yùn)動(dòng)三定律猜測(cè)行星之所以圍繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)是因?yàn)槠涫艿搅颂��?yáng)的引力，并導(dǎo)出了引力公式．牛頓的思想進(jìn)一步解放，指出這一引力與使月球圍繞地球運(yùn)動(dòng)的力、使蘋果落地的力應(yīng)遵循相同的規(guī)律，并給出了著名的“月-地檢驗(yàn)”，為萬(wàn)有引力定律的得出提供了強(qiáng)有力的依據(jù)．“月-地檢驗(yàn)”的基本思路可設(shè)置為以下兩個(gè)問題，已知地球半徑為6400km，月地距離約為地球半徑的60倍，請(qǐng)?jiān)俳Y(jié)合下面給出的已知量計(jì)算：（結(jié)果均保留三位有效數(shù)字）
①已知月球的公轉(zhuǎn)周期為27.3天，據(jù)此求月球的向心加速度？
②已知地球表面的重力加速度為9.8m/s²，試據(jù)此求月球的向心加速度？

Answer 1

分析：①月球的公轉(zhuǎn)周期為T=27.3天，軌道半徑r等于月地距離，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由a_n=

4π2r

T2

求出月球的向心加速度；
②月球的向心加速度等于月球軌道處的重力加速度，由重力近似等于地球的萬(wàn)有引力，得到月球軌道處的重力加速度與地球表面的重力加速度關(guān)系，即可求出月球的向心加速度．

解答：解：①由題，月球的公轉(zhuǎn)周期為T=27.3天=27.3×24×3600s≈2.36×10⁶s，軌道半徑r=60×6400×10³=3.84×10⁸m，則
月球的向心加速度為a_n=

4π2r

T2

供稿解得，a_n=0.00272m?s^-2．
②，設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體的質(zhì)量為m，物體與地球的距離為r，根據(jù)重力近似等于萬(wàn)有引力得
mg=G

GMm

r2

，得g=

GM

r2

設(shè)地球表面的重力加速度為g₀，地球的半徑為R，月球軌道處的重力加速度為g，則
 

g

g0

=

R2

r2

得 g=

R2

r2

g0=

1

3600

×9.8m/s2=0.00272 m?s^-2．
故月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．
答：①已知月球的公轉(zhuǎn)周期為27.3天，據(jù)此得到的月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．
②已知地球表面的重力加速度為9.8m/s²，據(jù)此求出月球的向心加速度為0.00272 m?s^-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)牛頓“月-地檢驗(yàn)”基本思路的理解，分別圓周運(yùn)動(dòng)向心加速度公式和萬(wàn)有引力定律兩種方式求解．