Question

20．石墨烯設(shè)近些年發(fā)現(xiàn)的一種新材料，其超高強度及超強導(dǎo)電、導(dǎo)熱等非凡的物理化學(xué)性質(zhì)有望使21世紀的世界發(fā)生革命性的變化，其發(fā)現(xiàn)者由此獲得2010年諾貝爾物理學(xué)獎．用石墨烯制作超級纜繩，人類搭建“太空電梯”的夢想有望在本世紀實線．科學(xué)家門設(shè)想，在地球同步衛(wèi)星軌道上，建一個同步軌道站，然后垂下一條纜繩直接和地面上的赤道基站連接在一起，讓電梯倉沿著這條纜繩運行，就能實現(xiàn)外太空和地球之間便捷的物資交換（地面附近重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω，地球半徑R，電梯倉和纜繩的質(zhì)量遠遠小于同步軌道站的質(zhì)量）．
（1）同步軌道站和赤道基站可以看成質(zhì)點，求纜繩的長度．
（2）當(dāng)電梯倉沿著纜繩升到離地面為R的位置時，電梯倉停下來，求此時質(zhì)量為m的物體對電梯底平面的壓力大小．

Answer 1

分析 （1）因為同步軌道站與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，根據(jù)軌道半徑求出軌道站的線速度，從而得出軌道站內(nèi)貨物相對地心運動的動能．
（2）根據(jù)向心加速度的大小，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出人對水平地板的壓力大�。�

解答 解：（1）設(shè)纜繩長度為h，同步軌道站的質(zhì)量為${m}_{0}^{\;}$，則對同步衛(wèi)星軌道上的同步軌道站，有：
$G\frac{M{m}_{0}^{\;}}{（h+R）_{\;}^{2}}={m}_{0}^{\;}{ω}_{\;}^{2}（R+h）$
得：$h=\root{3}{\frac{GM}{{ω}_{\;}^{2}}}-R$
又有$GM=g{R}_{\;}^{2}$
所以$h=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{ω}_{\;}^{2}}}-R$
（2）對物體m，在離地面高為R的位置，
由牛頓第二定律：$G\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}-F=m{ω}_{\;}^{2}2R$
又有$GM=g{R}_{\;}^{2}$
解得：$F=\frac{mg}{4}-2m{ω}_{\;}^{2}R$
再由牛頓第二定律得：質(zhì)量為m的物體對電梯艙底面的壓力大小為
$F′=\frac{mg}{4}-2m{ω}_{\;}^{2}R$
答：（1）同步軌道站和赤道基站可以看成質(zhì)點，纜繩的長度為$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{ω}_{\;}^{2}}}-R$
（2）當(dāng)電梯倉沿著纜繩升到離地面為R的位置時，電梯倉停下來，此時質(zhì)量為m的物體對電梯底平面的壓力大小$\frac{mg}{4}-2m{ω}_{\;}^{2}R$

點評 本題考查了萬有引力定律與牛頓第二定律的綜合，知道同步軌道站的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，以及知道人所受的萬有引力和支持力的合力提供圓周運動的向心力，掌握萬有引力等于重力這一理論，并能靈活運用．