Question

6．如圖所示，AB是一個固定在豎直面內(nèi)的弧形軌道，與豎直圓形軌道BCD在最低點B平滑連接，且B點的切線是水平的；BCD圓軌道的另一端D與水平直軌道DE平滑連接．B、D兩點在同一水平面上，且B、D兩點間沿垂直圓軌道平面方向錯開了一段很小的距離，可使運(yùn)動物體從圓軌道轉(zhuǎn)移到水平直軌道上．現(xiàn)有一無動力小車從弧形軌道某一高度處由靜止釋放，滑至B點進(jìn)入豎直圓軌道，沿圓軌道做完整的圓運(yùn)動后轉(zhuǎn)移到水平直軌道DE上，并從E點水平飛出，落到一個面積足夠大的軟墊上．已知圓形軌道的半徑R=0.40m，小車質(zhì)量m=2.5kg，軟墊的上表面到E點的豎直距離h=1.25m、軟墊左邊緣F點到E點的水平距離s=1.0m．不計一切摩擦和空氣阻力，弧形軌道AB、圓形軌道BCD和水平直軌道DE可視為在同一豎直平面內(nèi)，小車可視為質(zhì)點，取重力加速度g=10m/s²．
（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，則小車通過豎直圓軌道最高點時的速度至少多大；
（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，則小車運(yùn)動到B點時軌道對它的支持力多大；
（3）通過計算說明要使小車完成上述運(yùn)動，其在弧形軌道的釋放點到B點的豎直距離應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）小車在最高點，重力和軌道的壓力的合力提供向心力，當(dāng)壓力為零時，速度最小，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小車通過B點的速度，在B點，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（3）小車從E點水平飛出后做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式結(jié)合機(jī)械能守恒定律即可求解．

解答 解：（1）設(shè)小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，
小車通過圓軌道最高點時的最小速度為v_C，
根據(jù)牛頓第二定律有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，解得：v_C=2m/s；
（2）小車恰能在圓軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，此情況下小車通過B點的速度為v_B，軌道對小車的支持力為F_N．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有 $\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_C²+mg•2R，解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s，
在B點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：F_N=150N；
（3）設(shè)小車從E點水平飛出落到軟墊上的時間為t，
則h=$\frac{1}{2}$gt²，解得t=0.50s，
設(shè)小車以v_E的速度從E點水平飛出落到軟墊F點右側(cè)，則v_Et＞s，解得：v_E＞2.00m/s
要使小車完成題目中所述運(yùn)動過程，應(yīng)當(dāng)滿足兩個條件：
①小車通過軌道B點的速度v_B≥2$\sqrt{5}$m/s，
②小車通過E點的速度v_E＞2.00m/s
因為v_B=v_E，綜合以上兩點，小車通過B點的速度應(yīng)不小于v_B=2$\sqrt{5}$m/s，
設(shè)釋放點到B點的豎直距離為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
mgH=$\frac{1}{2}$mv_B²，解得H=1.0m，則釋放點到B點的豎直距離H≥1.0m；
答：（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，則小車通過豎直圓軌道最高點時的速度至少為2m/s；
（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動，則小車運(yùn)動到B點時軌道對它的支持力多大為150N；
（3）通過計算說明要使小車完成上述運(yùn)動，其在弧形軌道的釋放點到B點的豎直距離應(yīng)滿足H≥1.0m．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律、平拋運(yùn)動基本公式、機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用．對于圓周運(yùn)動，涉及力的問題，往往根據(jù)向心力進(jìn)行分析處理．難度適中．