Question

1．如圖所示，第一象限有平行于紙面且與x軸負(fù)方向成45°的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小未知．第四象限有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)從坐標(biāo)原點(diǎn)O向磁場(chǎng)中射入一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子（重力不計(jì)），速度大小為v，方向與x軸正方向成45°，該粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)之后，第四次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)恰好回到O點(diǎn)．則粒子從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到再次回到O點(diǎn)的過(guò)程中．求：
（1）粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（3）該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）首先分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，進(jìn)入磁場(chǎng)后先做一段$\frac{1}{4}$圓弧的圓周運(yùn)動(dòng)到a，先求出半徑，根據(jù)幾何知識(shí)求出a坐標(biāo)；
（2）接著恰好逆著電場(chǎng)線勻減速運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)速度為零，再返回a點(diǎn)速度仍為v，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)$\frac{3}{4}$圓弧到c，最后垂直電場(chǎng)線進(jìn)入電場(chǎng)作類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本公式及幾何知識(shí)求電場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）分別求出各段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，然后加到一起．

解答 解：（1）根$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
$R=\frac{mv}{qB}$
根據(jù)幾何知識(shí)可得，
oa長(zhǎng)${x}_{oa}=\sqrt{2}R=\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$
a的坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）

（2）根據(jù)圖象可知 ${x}_{oc}=2\sqrt{2}R$
類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的垂直和平行電場(chǎng)方向的位移都為s_⊥=s_∥=x_ocsin45°=2R
所以類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為  ${t}_{3}=\frac{{s}_{⊥}}{v}=\frac{2R}{v}$
又 ${s}_{∥}=\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$=$\frac{qE}{2m}{{t}_{3}}^{2}$
 可 E=vB
（3）根據(jù)$T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為${t}_{1}=T=\frac{2πm}{qB}$
粒子在電場(chǎng)中的加速度$a=\frac{qE}{m}=\frac{qvB}{m}$
粒子做往返直線運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間${t}_{2}=\frac{2v}{a}=\frac{2m}{qB}$
粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間${t}_{3}=\frac{2R}{v}=\frac{2m}{qB}$
總時(shí)間$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{2m}{qB}（2+π）$
答：（1）粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$，0）；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為vB；
（3）該粒子從O點(diǎn)出發(fā)到再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間為$\frac{2m}{qB}（2+π）$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要求學(xué)生掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)及類(lèi)平拋的基本公式．做此題時(shí)需要畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，并且對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)分段進(jìn)行分析，此題難度較大．