Question

如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)固定的平行金屬導(dǎo)軌位于豎直平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為d，導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒L₁和L₂，與導(dǎo)軌構(gòu)成回路，兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量都為m，電阻都為R，回路中其余部分的電阻可不計(jì)．在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有與導(dǎo)軌所在面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無(wú)摩擦地滑行，保持L₁向上作速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)刻將靠近L₁處的L₂由靜止釋放（剛釋放時(shí)兩棒的距離可忽略），經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后L₂也作勻速運(yùn)動(dòng)．已知d=0.5m，m=0.5kg，R=0.1Ω，B=1T，g取10m/s²．
（1）為使導(dǎo)體棒L₂向下運(yùn)動(dòng)，L₁的速度v最大不能超過(guò)多少？
（2）若L₁的速度v為3m/s，在坐標(biāo)中畫(huà)出L₂的加速度a ₂與速率v₂ 的關(guān)系圖象；
（3）若L₁的速度v為3m/s，在L₂作勻速運(yùn)動(dòng)的某時(shí)刻，兩棒的間距4m，求在此時(shí)刻前L₂運(yùn)動(dòng)的距離．

Answer 1

分析：（1）L₁向上作勻速運(yùn)動(dòng)，切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，L₂受到向上的安培力，當(dāng)L₂ 的重力大于所受的安培力時(shí)，導(dǎo)體棒L₂向下運(yùn)動(dòng)．
（2）當(dāng)L₁向上運(yùn)動(dòng)，L₂向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路中產(chǎn)生兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和牛頓第二定律推導(dǎo)出L₂的加速度a ₂與速率v₂ 的關(guān)系式，作出圖象．
（3）在L₂作勻速運(yùn)動(dòng)之前做變加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)加速度的定義式a=

△v

△t

，用積分法求解L₂運(yùn)動(dòng)的距離．

解答：解：（1）L₂剛釋放時(shí)電路中電動(dòng)勢(shì)E₁=Bdυ
                     回路中電流I1=

E1

2R

          L₂受到的安培力F=BI₁d
          要使導(dǎo)體棒L₂能向下運(yùn)動(dòng)，則mg＞F，得  υ＜4m/s
    （2）當(dāng)L₂運(yùn)動(dòng)速度為υ₂時(shí)，回路中電動(dòng)勢(shì)E=Bd（υ+υ₂）
         回路中感應(yīng)電流I=

E

2R

 
         導(dǎo)體棒L₂的所受的安培力F=BIL=

B2L2(v+v2)

2R

          加速度a=

mg-F

m

        代入整理得 a=2.5-2.5υ₂
      作圖如圖．
   （3）當(dāng)導(dǎo)體棒L₂做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，L₁和L₂兩棒的速度分別是υ和υ₂，
          由平衡條件得

B2d2(υ+υ2)

2R

=mg，得υ+υ₂=4m/s
      設(shè)當(dāng)導(dǎo)體棒L₂、L₁的相對(duì)速度為υ_相=4m/s時(shí)，棒L₂的加速度  a=g-

B2d2υ相

2Rm

=

△v

△t

     取極短時(shí)間△t，在時(shí)間△t內(nèi)速度變化△υ，
             △υ=g△t-

B2d2υ相

2Rm

△t
             則∑△υ=g∑△t-

B2d2

2Rm

∑υ相△t
            又υ_相△t=△x_相      得υ2=gt-

B2d2

2Rm

x相
      代入數(shù)據(jù)得兩棒間距為x_相=4m，所用時(shí)間t=1.1s
     導(dǎo)體棒L₁運(yùn)動(dòng)的位移x₁=υt=3×1.1m=3.3m
     導(dǎo)體棒L₂運(yùn)動(dòng)的位移x₂=x_相-x₁=0.7m
答：（1）為使導(dǎo)體棒L₂向下運(yùn)動(dòng)，L₁的速度v最大不能超過(guò)4m/s．
    （2）L₂的加速度a ₂與速率v₂ 的關(guān)系圖象如上圖所示．
    （3）若L₁的速度v為3m/s，在L₂作勻速運(yùn)動(dòng)的某時(shí)刻，兩棒的間距4m，在此時(shí)刻前L₂運(yùn)動(dòng)的距離為0.7m．

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)運(yùn)用積分方法求變加速運(yùn)動(dòng)的位移．非勻變速運(yùn)動(dòng)求位移不能用中學(xué)階段勻變速運(yùn)動(dòng)的公式，常采積分法求解．