Question

11．2012年，我國宣布北斗星導(dǎo)航系統(tǒng)正式進(jìn)入商業(yè)運(yùn)行．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)空間段由5顆靜止軌道衛(wèi)星和27顆中地球軌道衛(wèi)星、3顆傾斜同步軌道衛(wèi)星組成．該系統(tǒng)具有導(dǎo)航、定位等功能．如圖為“北斗”系統(tǒng)中某一工作衛(wèi)星，它繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為r，某時(shí)刻位于軌道上的A位置，若衛(wèi)星順時(shí)針運(yùn)行，經(jīng)過一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)到B位置，且與地球連線的夾角為60°，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）地球的質(zhì)量；
（2）此衛(wèi)星在軌道上的加速度大小和線速度大�。�
（3）此衛(wèi)星由位置A運(yùn)動(dòng)至位置B需要的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力與萬有引力相等，據(jù)此求得地球的質(zhì)量；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力由軌道半徑求衛(wèi)星的加速度和線速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)周期，再根據(jù)幾何關(guān)系求得時(shí)間．

解答 解：（1）在地球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$
可得地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=ma$
可得衛(wèi)星的向心加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$
又據(jù)$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得衛(wèi)星的速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$
（3）由萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得衛(wèi)星的周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$=$\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$
根據(jù)衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的周期性可知，衛(wèi)星從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B所需時(shí)間：
t=$\frac{T}{6}+nT$=$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$（n=0，1，2，3…）
答：（1）地球的質(zhì)量為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）此衛(wèi)星在軌道上的加速度大小為$\frac{g{R}^{2}}{{r}^{2}}$和線速度大小為$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$；
（3）此衛(wèi)星由位置A運(yùn)動(dòng)至位置B需要的時(shí)間為$\frac{πr}{3R}\sqrt{\frac{r}{g}}+n\frac{2πr}{R}\sqrt{\frac{r}{g}}$（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 在地球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)向心力這是解決此類問題的關(guān)鍵入手點(diǎn)．