Question

14．小船在200m寬的河中橫渡，水流速度是2m/s，船在靜水中的航速是4m/s，求：
（1）要使小船渡河耗時最少，應(yīng)如何航行？
（2）要使小船航程最短，應(yīng)如何航行？
（3）若水速為5m/s，船速為3m/s，則要求路程最少如何航行？最短航程是多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)船頭的方向與河岸垂直時，渡河時間最短．
（2）當(dāng)合速度的方向與河岸垂直時，渡河路程最短，根據(jù)平行四邊形定則求出靜水速的方向．
（3）因為水流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對岸．

解答 解：（1）當(dāng)小船的船頭始終正對對岸時，渡河時間t最短
（2）設(shè)靜水速的方向偏向上游與河岸成θ，

根據(jù)平行四邊形定則，v_ccosθ=v_s，
cosθ=$\frac{1}{2}$．
則θ=60°．即與上游河岸成60°夾角
（3）因為水流速度大于靜水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，則小船不可能到達(dá)正對岸．當(dāng)合速度的方向與靜水速的方向垂直時，合速度的方向與河岸的夾角最短，渡河航程最�。�

設(shè)此時靜水速的方向與河岸的夾角為θ，cosθ=$\frac{{v}_{船}^{\;}}{{v}_{水}^{\;}}=\frac{3}{5}$．
即$θ=arccos\frac{3}{5}$
根據(jù)幾何關(guān)系，則有：$\fracmvpycy2{s}=\frac{{v}_{船}^{\;}}{{v}_{水}^{\;}}$，因此最短的航程是：
$s=\frac{{v}_{水}^{\;}}{{v}_{船}^{\;}}d=\frac{5}{3}×200=\frac{1000m}{3}$=333.3m
答：（1）垂直河岸渡河
（2）與上游河岸成60°的夾角渡河
（3）船頭與上游河岸成θ=$arccos\frac{3}{5}$的夾角渡河，航程為333.3 m

點評 解決本題的關(guān)鍵知道當(dāng)靜水速與河岸垂直時，渡河時間最短，當(dāng)靜水速大于水流速，合速度與河岸垂直，渡河航程最短，當(dāng)靜水速小于水流速，合速度與靜水速垂直，渡河航程最短．