Question

10．如圖所示，一透明玻璃正方體邊長(zhǎng)L=1cm，上表面中心嵌有一點(diǎn)狀光源，已知玻璃正方體對(duì)該光的折射率n=$\sqrt{2}$，求四側(cè)面和底面能直接透光的區(qū)域的總面積．（不考慮光經(jīng)過(guò)反射后的折射）

Answer 1

分析 根據(jù)sinC=$\frac{1}{n}$求出全反射的臨界角，能直接透光的區(qū)域光線不發(fā)生全反射，結(jié)合幾何關(guān)系求解直接透光的區(qū)域的總面積．

解答 解：根據(jù)公式sinC=$\frac{1}{n}$可知，光源發(fā)出的光射到側(cè)面恰好發(fā)生全反射時(shí)，臨界角 C=45°，如入射光線SA
由幾何關(guān)系可知，在每一個(gè)側(cè)面能透光的區(qū)域是半徑 r=0.5m的半圓，所以四個(gè)側(cè)面能透光的總面積為：
S₁=4×$\frac{1}{4}π{r}^{2}$
解得：S₁=$\frac{π}{2}$ m²；
當(dāng)光線射到底角B點(diǎn)時(shí)，由幾何關(guān)系知，入射角θ的正弦為：sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故整個(gè)底面都有光線射出，即：S₂=1 m²；
所以四側(cè)面和底面能直接透光的區(qū)域的總面積為：S=S₁+S₂=（1+$\frac{π}{2}$）m²．
答：四側(cè)面和底面能直接透光的區(qū)域的總面積為（1+$\frac{π}{2}$）m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何光學(xué)問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)的能力要求較高，掌握臨界角與折射率的關(guān)系，運(yùn)用幾何知識(shí)幫助解答．