Question

16．如圖所示，一條輕繩跨過同一高度上的兩個(gè)輕質(zhì)定滑輪，兩端分別掛有質(zhì)量為m₁=4kg和m₂=2kg的物體A和B，在定滑輪之間的一段繩上懸掛第三個(gè)物體C，O為連結(jié)點(diǎn)，不計(jì)滑輪的大小和摩擦，為使三個(gè)物體保持平衡，物體C的質(zhì)量M應(yīng)取何值？

Answer 1

分析 C物體處于平衡狀態(tài)，受力平衡，對(duì)C受力分析，根據(jù)力的平衡列出等式，式子中變量較多，我們從消元開始解題，由兩式變形可以消去θ₂，把要求的變量用含有θ₁的式子表達(dá)，根據(jù)三角函數(shù)的特點(diǎn)，得到結(jié)果．

解答 解：系統(tǒng)保持平衡時(shí)，設(shè)F₁與豎直方向的夾角為θ₁，F(xiàn)₂與豎直方向的夾角為θ₂，則根據(jù)平衡條件，有：
4gsinθ₁=2gsinθ₂…①
4gcosθ₁+2gcosθ₂=Mg…②
由①式和②式消去θ₂，得：
M²-8Mcosθ₁+12=0，
即M=4cosθ₁±2$\sqrt{4cos{2θ}_{1}-3}$…③
因?yàn)閏osθ₂＞0，所以由②式知，Mg＞4gcosθ₁，故③式中M=4cosθ₁-2$\sqrt{4cos{2θ}_{1}-3}$不合題意，舍去．
又由于△=4cos²θ₁-3≥0，
解得 $\frac{\sqrt{3}}{2}$≤cosθ₁≤1．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)cosθ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，cosθ₂=0，不合題意，舍去．
所以2$\sqrt{3}$kg＜M＜6kg．
所求物體的質(zhì)量在2$\sqrt{3}$kg到6kg之間變動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)可保持平衡．
答：為使三個(gè)物體保持平衡，物體C的質(zhì)量M的范圍為2$\sqrt{3}$kg＜M＜6kg．

點(diǎn)評(píng) 本題也可以采用極值法，繩子的連接點(diǎn)三力平衡，其中重力方向豎直，兩個(gè)拉力的大小恒定，故要確定拉力合力范圍，但要考慮實(shí)際情況：①當(dāng)θ₁與θ₂趨向于零時(shí)，m取最大值；②當(dāng)較小的力趨向水平時(shí)，m取最小值．