Question

1．如圖甲所示，一光滑絕緣板組成的直角支架MLK，水平板LK長(zhǎng)為l=0.91m，距離水平地面高為h=2m，豎直板ML足夠長(zhǎng)，兩板連接處有一小孔．水平板上方存在E₁=2$\sqrt{2}$N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向與水平方向成θ角，指向右上方，θ為45°至90°的某一確定值．豎直線MQ左側(cè)有電場(chǎng)和磁場(chǎng)（甲圖中均未畫出），已知豎直方向的電場(chǎng)E₂分布在MQ左側(cè)整個(gè)空間，與紙面垂直的磁場(chǎng)只分布在NP與MQ兩平行線之間，區(qū)間水平寬度為d=1m，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化規(guī)律如圖乙所示，規(guī)定磁場(chǎng)垂直紙面向里為正方向．水平板LK上表面右邊緣處有一質(zhì)量m=0.1kg、電荷量q=0.1C的帶負(fù)電小球，以初速度V₀=0.6m/s向左對(duì)準(zhǔn)小孔運(yùn)動(dòng)．通過(guò)小孔后進(jìn)入左側(cè)空間恰好作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)記作t=0時(shí)刻．假定小球與豎直板碰撞時(shí)間極短，且無(wú)動(dòng)能損失，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，小球電量保持不變，g=10m/s²．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大小和方向．
（2）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短為多少？
（3）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在P點(diǎn)左側(cè)的水平地面上的落點(diǎn)與P點(diǎn)的最大距離？（計(jì)算結(jié)果可以用根號(hào)表示）．

Answer 1

分析 （1）小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力等于重力，據(jù)此求出場(chǎng)強(qiáng)．
（2）小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出小球做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角，然后求出其運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）小球離開(kāi)磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用勻速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求出落地點(diǎn)的最大距離．

解答 解：（1）小球在MQ左側(cè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力合力為零，即：qE₂=mg，
代入數(shù)據(jù)解得：E₂=10N/C，電場(chǎng)力豎直向上，小球帶負(fù)電，場(chǎng)強(qiáng)豎直向下；
（2）小球在平臺(tái)上向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得：
qE₁Lcosθ=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，45°≤θ≤90°，
代入數(shù)據(jù)解得：v_max=2m/s，
小球通過(guò)MN后的速度為：0.6m/s≤v≤2m/s，
小球在MQ右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：0.15m≤R₁≤0.5m，0.6m≤R₂≤2m；
小球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{π}{2}$，T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$=2π，
小球進(jìn)入磁場(chǎng)后向左瞬時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$T₁，
然后與ML碰撞，碰撞后小球速度水平向左，然后沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球速度最大為2m/s時(shí)逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑最大為2m，此時(shí)小球在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角θ最小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，有：sinθ=$\fracf1hv6gx{{R}_{2最大}}$=$\frac{1}{2}$，
得：θ=30°，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{θ}{360°}$T₂=$\frac{π}{6}$，
粒子的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=t₁+t₂=$\frac{5π}{12}$s；
（3）小球以最大速度離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)落地點(diǎn)的水平距離最大，
v_x=v_最大cosθ=2cos30°=$\sqrt{3}$m/s，
v_y=v_最大sinθ=2sin30°=1m/s，
在豎直方向，小球所受重力與電場(chǎng)力合力為零，小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：
h+2R_1最大-（R_2最大-R_2最大cosθ）=v_yt，
解得：t=（1+$\sqrt{3}$）s，
小球在P點(diǎn)左側(cè)的水平地面上的落點(diǎn)與P點(diǎn)的最大距離為：x=v_xt=（3+$\sqrt{3}$）m；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₂的大小為10N/C，方向：豎直向下．
（2）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短為$\frac{5π}{12}$s；
（3）在θ的取值范圍內(nèi)，小球在P點(diǎn)左側(cè)的水平地面上的落點(diǎn)與P點(diǎn)的最大距離為（3+$\sqrt{3}$）m．

點(diǎn)評(píng) 本題是小球在重力場(chǎng)、電場(chǎng)與磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類型，本題粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，難度較大，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵；分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程后，應(yīng)用動(dòng)能定理求出粒子的速度范圍，然后應(yīng)用牛頓第二定律、幾何知識(shí)可以解題．