Question

7．如圖所示，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)m的物體，M的中心與圓孔距離為d，并知M和水平面的最大靜摩擦力為f_m（mg＞f_m）現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度ω在什么范圍m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？

Answer 1

分析 當(dāng)此平面繞中心軸線以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，若M恰好要向里滑動(dòng)時(shí)，ω取得最小值，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向外，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑動(dòng)時(shí)，ω取得最大值，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向里，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范圍．

解答 解：設(shè)此平面角速度ω的最小值為ω₁，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向外，則由牛頓第二定律得
   T-f_m=M${ω}_{1}^{2}L$，
又T=mg
聯(lián)立得 mg-f_m=M${ω}_{1}^{2}L$，
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{mg-{f}_{m}}{ML}}$
設(shè)此平面角速度ω的最大值為ω₂，此時(shí)M所受的靜摩擦力達(dá)到最大，方向沿半徑向里，則由牛頓第二定律得
  T+f_m=M${ω}_{2}^{2}L$，
又T=mg
解得：ω₂=$\sqrt{\frac{mg+{f}_{m}}{ML}}$
為使m處于靜止?fàn)顟B(tài)，角速度ω的范圍為：$\sqrt{\frac{mg-{f}_{m}}{ML}}≤ω≤\sqrt{\frac{mg+{f}_{m}}{ML}}$．
答：為使m處于靜止?fàn)顟B(tài)，角速度ω的范圍為：$\sqrt{\frac{mg-{f}_{m}}{ML}}≤ω≤\sqrt{\frac{mg+{f}_{m}}{ML}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題，抓住當(dāng)M恰好相對(duì)此平面滑動(dòng)時(shí)靜摩擦力達(dá)到最大，由牛頓第二定律求解角速度的取值范圍．