Question

在“極限”運(yùn)動(dòng)會(huì)中，有一個(gè)在鋼索橋上的比賽項(xiàng)目．如圖所示，總長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻粗鋼絲繩固定在等高的A、B處，鋼絲繩最低點(diǎn)與固定點(diǎn)A、B的高度差為H，動(dòng)滑輪起點(diǎn)在A處，并可沿鋼絲繩滑動(dòng)，鋼絲繩最低點(diǎn)距離水面也為H．若質(zhì)量為m的人抓住滑輪下方的掛鉤由A點(diǎn)靜止滑下，最遠(yuǎn)能到達(dá)右側(cè)C點(diǎn)，C、B間鋼絲繩長(zhǎng)度為
L′=

L

10

，高度差為h=

H

3

．若參賽者在運(yùn)動(dòng)過程中始終處于豎直狀態(tài)，抓住滑輪的手與腳底之間的距離也為h，滑輪與鋼絲繩間的摩擦力大小視為不變，且摩擦力所做功與滑過的路程成正比，不計(jì)參賽者在運(yùn)動(dòng)中受到的空氣阻力、滑輪（含掛鉤）的質(zhì)量和大小，不考慮鋼索橋的擺動(dòng)及形變．
（1）滑輪與鋼絲繩間的摩擦力是多大？
（2）若參賽者不依靠外界幫助要到達(dá)B點(diǎn)，則人在A點(diǎn)處抓住掛鉤時(shí)至少應(yīng)該具有多大的初速度？
（3）比賽規(guī)定參賽者須在鋼絲繩最低點(diǎn)脫鉤并到達(dá)與鋼絲繩最低點(diǎn)水平相距為4a、寬度為a，厚度不計(jì)的海綿墊子上．若參賽者由A點(diǎn)靜止滑下，會(huì)落在海綿墊子左側(cè)的水中．為了能落到海綿墊子上，參賽者在A點(diǎn)抓住掛鉤時(shí)應(yīng)具有初速度的范圍？

Answer 1

分析：（1）從A點(diǎn)靜止滑下，最遠(yuǎn)能滑到C點(diǎn)，可知C點(diǎn)的速度為0．對(duì)A到C過程運(yùn)用動(dòng)能定理，有重力做功，摩擦力做功，動(dòng)能的變化為0，求出摩擦力．
（2）對(duì)A到B運(yùn)用動(dòng)能定理，重力不做功，摩擦力做負(fù)功，根據(jù)動(dòng)能定理求出初速度．
（3）參賽者在鋼絲繩最低點(diǎn)脫鉤后，做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移4a≤x≤5a，求出最低點(diǎn)的速度范圍．

解答：解；（1）根據(jù)動(dòng)能定理，參賽者在A到C的過程中滿足
 mgh-F_f（L-L′）=0          
將 L′=

L

10

，h=

H

3

代入，可得滑輪與鋼絲繩間的摩擦力
  F_f=

10mgH

27L

                  
（2）根據(jù)動(dòng)能定理，參賽者在A到B的過程中滿足
-F_fL=0-

1

2

m

v

2 0

                 
聯(lián)立得v₀=

20 27 gH

                       
（3）參賽者落到海綿墊的過程是平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)人脫離鋼索時(shí)的速度為v，運(yùn)動(dòng)的水平位移為s，則
   s=vt                       
  （H-h）=

1

2

gt2
由題意知，s=4a時(shí)，參賽者具有的最小速度為
 v_min=

2a

H

3gH

 s=5a時(shí)，參賽者具有的最大速度為
 v_max=

5a

2H

3gH

故參賽者在A點(diǎn)抓住掛鉤時(shí)應(yīng)具有初速度的范圍是

2a

H

3gH

≤v≤

5a

2H

3gH

．
答：
（1）滑輪與鋼絲繩間的摩擦力是

10mgH

27L

．
（2）若參賽者不依靠外界幫助要到達(dá)B點(diǎn)，則人在A點(diǎn)處抓住掛鉤時(shí)至少應(yīng)該具有

20 27 gH

的初速度．
（3）比賽規(guī)定參賽者須在鋼絲繩最低點(diǎn)脫鉤并到達(dá)與鋼絲繩最低點(diǎn)水平相距為4a、寬度為a，厚度不計(jì)的海綿墊子上．若參賽者由A點(diǎn)靜止滑下，會(huì)落在海綿墊子左側(cè)的水中．為了能落到海綿墊子上，參賽者在A點(diǎn)抓住掛鉤時(shí)應(yīng)具有初速度的范圍是

2a

H

3gH

≤v≤

5a

2H

3gH

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇研究過程，根據(jù)動(dòng)能定理W_合=△E_K進(jìn)行求解．