Question

如圖所示，地面和半圓軌道面PTQ均光滑。質(zhì)量M = l kg、長(zhǎng)L = 4 m的小車放在地面上，右端與墻壁的距離為s = 3 m，小車上表面與半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平�，F(xiàn)有一質(zhì)量m = 2 kg的滑塊(不計(jì)大小)以v₀ = 6 m/s的初速度滑上小車左端，帶動(dòng)小車向右運(yùn)動(dòng)。小車與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上，已知滑塊與小車表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ = 0.2，g取10 m/s²。求：

    (1)判斷小車與墻壁碰撞前是否已與滑塊相對(duì)靜止并求小車與墻壁碰撞時(shí)滑塊的速度；

    (2)若滑塊在圓軌道滑動(dòng)的過(guò)程中不脫離軌道，求半圓軌道半徑R的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由牛頓第二定律，對(duì)滑塊：-μmg=ma₁          (1分)

對(duì)小車：μmg=Ma₂           （1分）

但滑塊相對(duì)小車靜止時(shí)，兩者速度相等，即：

v₀+a₁t=a₂t                   （1分）

此時(shí) v₁=v₂=4m/s               （1分）

滑塊的位移為：s₁=v₀t+a₁t²      （1分）

滑塊與小車的相對(duì)位移為：L₁=s₁-s₂           （1分）

聯(lián)立解得，L₁=3m，s₂=2m                   （2分）

因L₁<L，s₂<s，說(shuō)明小車與墻壁碰撞前滑塊與小車已具有共同速度，且共速時(shí)小車與墻壁還未發(fā)生碰撞，故小車與墻壁碰撞時(shí)的速度為：

V_t=4m/s                                    （1分）

（2）與墻碰后滑塊將在小車上繼續(xù)向右做初速度為v₁=4m/s，位移為L(zhǎng)₂=L-L₁=1m的勻減速運(yùn)動(dòng)，然后滑上圓軌道的最低點(diǎn)P。

若滑塊恰能滑過(guò)圓的最高點(diǎn)，設(shè)滑至最高點(diǎn)的速度為v，臨界條件為

Mg=mv²/R                      （2分）

根據(jù)動(dòng)能定理，有

-μmgL₂-mg·2R=mv²-mv₁²        （2分）

解得 R=0.24m                       （1分）

若滑塊恰好滑至1/4圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)就停止，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道。

根據(jù)動(dòng)能定理，有

-μmgL₂-mgR=0-mv₁²                 （2分）

解得R=0.6m                           （1分）

綜上所述，滑塊在圓軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不脫離圓軌道，則半圓軌道的半徑必須滿足：

R≤0.24m或R≥0.60m                    （1分）