Question

如圖所示，一半徑為R的絕緣圓形軌道豎直放置，圓軌道最低點(diǎn)與一條水平軌道相連，軌道都是光滑的．軌道所在空間存在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E．從水平軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放一質(zhì)量為m的帶正電的小球，為使小球剛好在圓軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知小球受到的電場(chǎng)力大小等于小球重力的

3

4

倍．試求：
（1）小球在圓周上的最小速度是多少？
（2）在B時(shí)小球?qū)�軌道的壓力是多少�?br />（3）釋放點(diǎn)A距圓軌道最低點(diǎn)B的距離s．

Answer 1

分析：1、帶電小球受到重力和電場(chǎng)力作用，重力和電場(chǎng)力都是恒力，故重力和電場(chǎng)力的合力也是恒力，所以在軌道上上升的運(yùn)動(dòng)過程中，動(dòng)能減小，因?yàn)樾∏騽偤迷趫A軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，故合力恰好提供向心力時(shí)是小球做圓周運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)，此時(shí)小球的速度最小，此時(shí)的“最高點(diǎn)”是等效最高點(diǎn)，不是相對(duì)于AB軌道的最高點(diǎn)．
2、從B點(diǎn)到最高點(diǎn)，重力做負(fù)功，電場(chǎng)力做負(fù)功，運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理-mgR(1+cosθ)-EqRsinθ=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 B

，可以計(jì)算出B點(diǎn)的速度．再根據(jù)合力提供向心力計(jì)算在B時(shí)小球?qū)�軌道的壓力�?br />3、A到B的過程仍然運(yùn)動(dòng)動(dòng)能定理，此過程只有電場(chǎng)力作用Eqs=

1

2

m

v

2 B

，化簡(jiǎn)可得A到B的距離s．

解答：解：如圖，帶電小球運(yùn)動(dòng)到圖中最高點(diǎn)時(shí)，重力、電場(chǎng)力的合力提供向心力時(shí)，速度最小，因?yàn)?span id="5x9jvkb" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">Eq=

3

4

mg
根據(jù)勾股定理合力為：F合=

(mg)2+( 3 4 mg)2

=

5

4

mg
因?yàn)樾∏騽偤迷趫A軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，故最高點(diǎn)合力提供向心力，即F合=m

v2

R

解得：v=

5 4 gR

（2）從B點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
-mgR(1+cosθ)-EqRsinθ=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 B

其中sinθ=

qE

F合

=

3 4 mg

5 4 mg

=

3

5

，cosθ=

mg

F合

=

mg

5 4 mg

=

4

5

在B點(diǎn)，合力提供向心力，即FN-mg=m

v 2 B

R

解得：FN=

27

4

mg
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力�?span id="um4qkxi" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">F=

27

4

mg
（3）從A到B，由動(dòng)能定理得：Eqs=

1

2

m

v

2 B

解得：s=

23

6

R
答：（1）小球在圓周上的最小速度是

5 4 gR

．
（2）在B時(shí)小球?qū)�軌道的壓力�?span id="9vptman" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

27

4

mg．
（3）釋放點(diǎn)A距圓軌道最低點(diǎn)B的距離s是

23

6

R．

點(diǎn)評(píng)：本題要注意速度最小的位置的最高點(diǎn)不是相對(duì)于地面的最高點(diǎn)，而是合力指向圓心，恰好提供向心力的位置，這是解題的關(guān)鍵．