Question

15．如圖，在傾角為θ的足夠長(zhǎng)固定斜面上靜置質(zhì)量為m的小物塊A，A與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=tanθ．另有質(zhì)量為$\frac{m}{7}$的光滑小物塊B在斜面上與A相距為L(zhǎng)處由靜止釋放，向A運(yùn)動(dòng)并與A正碰，碰撞時(shí)間極短，碰后A的速度為B碰前速度的$\frac{1}{4}$，求
（1）第一次碰撞后至第二次碰撞前，A、B間的最大距離△s_m
（2）B從開始下滑至第二次與A碰撞所需的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出B與A碰撞前B的速度，A、B碰撞的瞬間A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，結(jié)合動(dòng)量守恒定律求出碰撞后A、B的速度，分析出A、B的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A、B間的最大距離．
（2）根據(jù)位移時(shí)間公式求出B下滑第一次與A碰撞的時(shí)間，從第一次碰撞到第二次碰撞，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，根據(jù)位移關(guān)系求出時(shí)間，從而得出B從開始下滑至第二次與A碰撞所需的時(shí)間t．

解答 解：（1）設(shè)小物塊B運(yùn)動(dòng)到A處時(shí)速度為v_B，由動(dòng)能定理$\frac{m}{7}gLsinθ=\frac{1}{2}\frac{m}{7}v_B^2$得   
$v_B^2=2gLsinθ$①
B、A相碰時(shí)間極短，由動(dòng)量守恒定律，規(guī)定沿斜面向下為正方向$\frac{m}{7}{v_B}=\frac{m}{7}{v_B}^′+m{v_A}$②
依題意，A碰后速度    ${v_A}=\frac{1}{4}{v_B}$③
由①～③式可得B碰后速度   ${v_B}^′=-\frac{3}{4}{v_B}$④
對(duì)A，由于 μ=tanθ，則有  mgsinθ=μmgcosθ，碰后A沿斜面向下做勻速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)B、A碰撞后經(jīng)時(shí)間t₁速度相同，此時(shí)A、B間距最大，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式${v_A}={v_B}^′+gsinθ•{t_1}$⑤
t₁時(shí)間內(nèi)A的位移 s_A=v_At₁⑥
t₁時(shí)間內(nèi)B的位移 ${s_B}=\frac{{{v_B}^′+{v_A}}}{2}{t_1}$⑦
A、B間最大距離△s_m=s_A-s_B⑧
由③～⑧式解得  A、B之間最大距離△s_m=L
（2）從B開始下滑至第一次與A碰撞結(jié)束經(jīng)歷的時(shí)間為t₀
$L=\frac{1}{2}gsinθ•{t_0}^2$⑨
解得${t_0}=\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$
第一次碰撞結(jié)束至第二次與A碰撞經(jīng)歷時(shí)間為t₂，此過(guò)程兩物體位移相等有${v_A}{t_2}={v_B}^′{t_2}+\frac{1}{2}gsinθ•{t_2}^2$⑩
解得      ${t_2}=\frac{{2{v_B}}}{gsinθ}=2\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$
則B從開始下滑至第二次與A碰撞經(jīng)歷的時(shí)間為   $t={t_0}+{t_2}=3\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$．
答：（1）第一次碰撞后至第二次碰撞前，A、B間的最大距離為L(zhǎng)．
（2）B從開始下滑至第二次與A碰撞所需的時(shí)間為$3\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律和動(dòng)力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵理清A、B在碰撞前后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)牛頓定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，難度中等．