Question

12．滑塊從$\frac{1}{4}$圓軌道頂端A滑下，圓軌道半徑為R
（1）若軌道是光滑的滑塊由靜止從A滑下，滑塊經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)速度多大？
（2）若軌道是光滑的下滑到B點(diǎn)時(shí)速度是（1）所求速度的2倍，則A點(diǎn)的初速度多大？
（3）若滑塊從A靜止下滑，到B點(diǎn)速度為（1）結(jié)果的$\frac{1}{4}$，則下滑過程中克服阻力做功多少？

Answer 1

分析 （1）軌道為光滑的，則滑塊由靜止從A滑下過程中機(jī)械能守恒，由動(dòng)能定理可求出經(jīng)過最低點(diǎn)的速度大小；
（2）根據(jù)末速度是從靜止下滑的兩倍，設(shè)初速度為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理求出初速度；
（3）由靜止下滑，滑到B點(diǎn)時(shí)是光滑軌道時(shí)的速度的四分之一，說明軌道是粗糙的，根據(jù)動(dòng)能的變化量求出阻力做的功．

解答 解：設(shè)滑塊的質(zhì)量為m，
（1）軌道光滑，無摩擦力作用，整個(gè)過程機(jī)械能守恒，以B點(diǎn)所在平面為基準(zhǔn)面，
初位置時(shí)：重力勢能：E_p=mgR，動(dòng)能為0
設(shè)物體到B點(diǎn)時(shí)速度大小為v，
則末重力勢能為0，末動(dòng)能為：E_k=$\frac{1}{2}$mv²
由動(dòng)能定理得：E_p=E_k
聯(lián)立以上三式得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）軌道光滑，無摩擦力作用，整個(gè)過程機(jī)械能守恒，以B點(diǎn)所在平面為基準(zhǔn)面，
設(shè)初速度為v₀，末速度為：v₁=2v
則初位置：重力勢能為E_p，動(dòng)能為：${E}_{k1}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
滑到B點(diǎn)時(shí)，重力勢能為0，動(dòng)能為${E}_{k2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{2}m（2v）^{2}$
由動(dòng)能定理得：E_k2=E_k1+E_p
聯(lián)立以上三式得：v₀=$\sqrt{6gR}$
（3）由題意知，軌道是粗糙的，設(shè)下滑過程中克服阻力做功大小為W，物體到B點(diǎn)速度為：${v}_{2}=\frac{1}{4}v$，
初位置時(shí)，動(dòng)能為0，重力勢能為E_p，
到B點(diǎn)時(shí)，重力勢能為0，末動(dòng)能為：${E}_{k3}=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m（\frac{v}{4}）^{2}=\frac{m{v}^{2}}{32}$
由動(dòng)能定理得：E_k3=E_p-W
聯(lián)立以上兩式得：W=$\frac{15mgR}{16}$
答：（1）若軌道是光滑的滑塊由靜止從A滑下，滑塊經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)B時(shí)速度大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）若軌道是光滑的下滑到B點(diǎn)時(shí)速度是（1）所求速度的2倍，則A點(diǎn)的初速度大小為$\sqrt{6gR}$；
（3）若滑塊從A靜止下滑，到B點(diǎn)速度為（1）結(jié)果的$\frac{1}{4}$，則下滑過程中克服阻力做功$\frac{15mgR}{16}$．

點(diǎn)評 本題考查不同狀態(tài)下的物體動(dòng)能的變化，比較前后狀態(tài)下的能量變化，根據(jù)動(dòng)能定理可以解決．