Question

1879年美國(guó)物理學(xué)家霍爾在研究載流導(dǎo)體在磁場(chǎng)中受力情況時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種新的電磁效應(yīng)：將導(dǎo)體置于磁場(chǎng)中，并沿垂直磁場(chǎng)方向通入電流，則在導(dǎo)體中垂直于電流和磁場(chǎng)的方向會(huì)產(chǎn)生一個(gè)橫向電勢(shì)差，這種現(xiàn)象后來(lái)被稱為霍爾效應(yīng)，這個(gè)橫向的電勢(shì)差稱為霍爾電勢(shì)差．
（1）如圖甲所示，某長(zhǎng)方體導(dǎo)體abcda′b′c′d′的高度為h、寬度為l，其中的載流子為自由電子，其電荷量為e，處在與ab b′a′面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀．在導(dǎo)體中通有垂直于bcc′b′面的電流，若測(cè)得通過導(dǎo)體的恒定電流為I，橫向霍爾電勢(shì)差為U_H，求此導(dǎo)體中單位體積內(nèi)自由電子的個(gè)數(shù)．
（2）對(duì)于某種確定的導(dǎo)體材料，其單位體積內(nèi)的載流子數(shù)目n和載流子所帶電荷量q均為定值，人們將H=

1

nq

定義為該導(dǎo)體材料的霍爾系數(shù)．利用霍爾系數(shù)H已知的材料可以制成測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度的探頭，有些探頭的體積很小，其正對(duì)橫截面（相當(dāng)于圖14甲中的ab b′a′面）的面積可以在0.1cm²以下，因此可以用來(lái)較精確的測(cè)量空間某一位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度．如圖乙所示為一種利用霍爾效應(yīng)測(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度的儀器，其中的探頭裝在探桿的前端，且使探頭的正對(duì)橫截面與探桿垂直．這種儀器既可以控制通過探頭的恒定電流的大小I，又可以監(jiān)測(cè)出探頭所產(chǎn)生的霍爾電勢(shì)差U_H，并自動(dòng)計(jì)算出探頭所測(cè)位置磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，且顯示在儀器的顯示窗內(nèi)．
①在利用上述儀器測(cè)量磁感應(yīng)強(qiáng)度的過程中，對(duì)探桿的放置方位有何要求；
②要計(jì)算出所測(cè)位置磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，除了要知道H、I、U_H外，還需要知道哪個(gè)物理量，并用字母表示．推導(dǎo)出用上述這些物理量表示所測(cè)位置磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電流的微觀表達(dá)式I=nevS，結(jié)合穩(wěn)定時(shí)電子所受的電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡求出導(dǎo)體中單位體積內(nèi)自由電子的個(gè)數(shù)．
（2）使探桿與磁場(chǎng)方向平行；探頭的正對(duì)橫截面與磁場(chǎng)方向垂直，此時(shí)形成的霍爾電勢(shì)差最大．根據(jù)電流的微觀表達(dá)式，抓住電子所受電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡，結(jié)合霍爾系數(shù)求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式，通過表達(dá)式得出需要測(cè)量的物理量．

解答：解：（1）設(shè)單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，自由電子定向移動(dòng)的速率為v，
則有    I=nehlv
當(dāng)形成恒定電流時(shí)，自由電子所受電場(chǎng)力與洛侖茲力相等，因此有
evB₀=e

UH

h

解得n=

B0I

eUHl

．
（2）①應(yīng)調(diào)整探桿的放置方位（或調(diào)整探頭的方位），使霍爾電勢(shì)差達(dá)到最大（或使探桿與磁場(chǎng)方向平行；探頭的正對(duì)橫截面與磁場(chǎng)方向垂直；ab b′a′面與磁場(chǎng)方 向垂直）
②設(shè)探頭中的載流子所帶電荷量為q，根據(jù)上述分析可知，探頭處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場(chǎng)中，當(dāng)通有恒定電流I，產(chǎn)生最大穩(wěn)定霍爾電壓U_H時(shí)，有  qvB=q

UH

h

又因  I=nqhlv和H=

1

nq

聯(lián)立可解得  B=

UHl

HI

所以，還需要知道探頭沿磁場(chǎng)方向的寬度l．
答：（1）導(dǎo)體中單位體積內(nèi)自由電子的個(gè)數(shù)為

B0I

eUHl

．
（2）①應(yīng)調(diào)整探桿的放置方位（或調(diào)整探頭的方位），使霍爾電勢(shì)差達(dá)到最大（或使探桿與磁場(chǎng)方向平行；探頭的正對(duì)橫截面與磁場(chǎng)方向垂直；ab b′a′面與磁場(chǎng)方 向垂直）．
②還需要知道探頭沿磁場(chǎng)方向的寬度l．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握電流的微觀表達(dá)式，以及知道穩(wěn)定時(shí)電子所受的電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡．