Question

6．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道固定在豎直面內(nèi)．小球A、B質(zhì)量分別為m、km（k為大于1的待定常數(shù)）．A球從左邊與圓心等高處P點由靜止開始沿軌道下滑，與靜止于軌道最低點的B球相撞以后，兩球又會同時回到最低點再次發(fā)生碰撞，碰撞中無機(jī)械能損失，已知從最低點開始運動到最高點再回到最低點所用的時間只與初速度有關(guān)，重力加速度為g．試求常數(shù)k的大小．

Answer 1

分析 第一次碰撞前A球下滑的過程，由機(jī)械能守恒定律求第一次碰撞前瞬間A球的速度．由于碰撞中無機(jī)械能損失，則碰撞過程遵守動量守恒和機(jī)械能守恒，由此列式求出碰后兩球的速度．再根據(jù)兩球碰后能同時回到最低點再次發(fā)生碰撞的條件結(jié)合解答．

解答 解：設(shè)第一次碰撞前瞬間A球速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$mgR=\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得：$v=\sqrt{2gR}$
設(shè)小球A、B第一次碰撞后瞬間速度分別為v₁、v₂，取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律有：
mv=mv₁+kmv₂  
$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$kmv₂²  
解得：${v_1}=-\frac{k-1}{k+1}v$，${v_2}=\frac{2}{k+1}v$
兩球碰后能同時回到最低點再次發(fā)生碰撞，則有v₁=-v₂，即得 k=3
答：常數(shù)k的大小是3．

點評 本題的關(guān)鍵要明確兩球發(fā)生彈性碰撞時，遵守兩大守恒：機(jī)械能守恒和動量守恒，要靈活選擇研究對象和研究過程進(jìn)行處理．