Question

如圖所示，質(zhì)量為m的小球自由下落高度為R后沿豎直平面內(nèi)的軌道ABC運(yùn)動(dòng)．AB是半徑為R的1/4粗糙圓弧，BC是直徑為R的光滑半圓弧，小球運(yùn)動(dòng)到C時(shí)對(duì)軌道的壓力恰為零．B是軌道最低點(diǎn)．求：
（1）小球在AB弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力對(duì)小球做的功．
（2）小球經(jīng)B點(diǎn)前、后瞬間對(duì)軌道的壓力之比．
（3）小球離開(kāi)C點(diǎn)后豎直下落多少高度才能撞上圓軌道？

Answer 1

（1）小球在C點(diǎn)：根據(jù)牛頓第二定律得
mg=m

v 2c

R 2

小球由靜止釋放到C點(diǎn)過(guò)程，據(jù)動(dòng)能定理得
mgR+W_f=

1

2

mv_C²
聯(lián)立解得W_f=-

3

4

mgR
（2）小球由靜止釋放到B點(diǎn)過(guò)程，據(jù)動(dòng)能定理得
2mgR+W_f=

1

2

mv_B²
在B點(diǎn)前瞬間據(jù)牛頓第二定律得
F_N前-mg=m

v 2B

R

在B點(diǎn)后瞬間據(jù)牛頓第二定律得
F_N后-mg=m

v 2B

R 2

由牛頓第三定律知，小球?qū)�軌道的壓力大小等于軌道�?duì)小球的支持力大小．
聯(lián)立解得 F_N前：F _N后=7：12
（3）小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，合位移等于半徑，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式，有：
x=v_ct
y=

1

2

gt2
R²=x²+y²
聯(lián)列解得：y=

5 -1

2

R≈0.618R
答：（1）小球在AB弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力對(duì)小球做的功為-

3

4

mgR．
（2）小球經(jīng)B點(diǎn)前、后瞬間對(duì)軌道的壓力之比為7：12．
（3）小球離開(kāi)C點(diǎn)后豎直下落0.618R的高度才能撞上圓軌道．