Question

10．如圖甲所示，MN、PQ是相距d=1m的足夠長平行光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面與水平面成某一夾角，導(dǎo)軌電阻不計(jì)；長也為1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，ab的質(zhì)量m=0.1kg、電阻R=1Ω；MN、PQ的上端連接右側(cè)電路，電路中R₂為一電阻箱；已知燈泡電阻R_L=3Ω，定值電阻R₁=7Ω，調(diào)節(jié)電阻箱使R₂=6Ω，重力加速度g=10m/s²．現(xiàn)斷開開關(guān)S，在t=0時(shí)刻由靜止釋放ab，在t=0.5s時(shí)刻閉合S，同時(shí)加上分布于整個(gè)導(dǎo)軌所在區(qū)域的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面斜向上；圖乙所示為ab的速度隨時(shí)間變化圖象．
（1）求斜面傾角α及磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）ab由靜止下滑x=50m（此前已達(dá)到最大速度）的過程中，求整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；
（3）若只改變電阻箱R₂的值．當(dāng)R₂為何值時(shí)，ab勻速下滑中R₂消耗的功率最大？消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析 （1）先研究乙圖可知，在0-0.5s內(nèi)ab做勻加速直線運(yùn)動，由圖象的斜率可求得加速度，由牛頓第二定律求出斜面的傾角．t=0.5s時(shí)，S閉合且加上了磁場，ab將先做加速度減小的加速運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到最大（v_m=6m/s）后接著做勻速運(yùn)動，根據(jù)平衡條件和安培力與速度的關(guān)系式結(jié)合，求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）ab下滑過程中，機(jī)械能減小轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱；
（3）ab勻速下滑時(shí)受力平衡，由平衡條件求出ab產(chǎn)生的感應(yīng)電流I，由并聯(lián)電路的規(guī)律求出通過R₂的電流，由功率公式和數(shù)學(xué)知識結(jié)合求解R₂消耗的最大功率．

解答 解：（1）S斷開時(shí)，ab做勻加速直線運(yùn)動，從圖乙得：
a=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{3}{0.5}$m/s=6m/s²，
由牛頓第二定律有：mgsinα=ma
所以：sinα=$\frac{a}{g}$=$\frac{6}{10}$=0.6
所以α=37°
t=0.5s時(shí)，S閉合且加上了磁場，分析可知，此后ab將先做加速度減小的加速運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到最大（v_m=6m/s）后接著做勻速運(yùn)動，勻速運(yùn)動時(shí)，由平衡條件有：
mgsinα=F_安，
又F_安=BId
I=$\frac{Bd{v}_{m}}{{R}_{總}}$
電路的總電阻：R_總=R_ab+R₁+$\frac{{R}_{2}{R}_{L}}{{R}_{2}+{R}_{L}}$=（1+7+$\frac{3×6}{3+6}$）Ω=10Ω
聯(lián)立以上四式有：mgsinα=$\frac{{B}^{2}fbt9dln^{2}{v}_{m}}{{R}_{總}}$
代入數(shù)據(jù)解得：B=$\sqrt{\frac{mgsinα{R}_{總}}{htltjbf^{2}{v}_{m}}}$=$\sqrt{\frac{0.1×10×0.6×10}{{1}^{2}×6}}$=1T
（2）由能量轉(zhuǎn)化關(guān)系有：mgxsinα=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+Q
代入數(shù)據(jù)解得：Q=mgxsinα-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=28.2J
（3）改變電阻箱R₂的值后，ab勻速下滑時(shí)有：mgsinα=BdI
所以I=$\frac{mgsinα}{Bd}$=$\frac{0.1×10×0.6}{1×1}$A=0.6A
通過R₂的電流為：I₂=$\frac{{R}_{L}}{{R}_{L}+{R}_{2}}$I
R₂的功率為：P=I₂²R₂，
聯(lián)立以上三式有：P=I²$\frac{{R}_{L}^{2}}{（{R}_{L}+{R}_{2}）^{2}}$R₂=I²$\frac{{R}_{L}^{2}}{（\frac{{R}_{L}}{\sqrt{{R}_{2}}}+\sqrt{{R}_{2}}）^{2}}$
當(dāng)$\frac{{R}_{L}}{\sqrt{{R}_{2}}}$=$\sqrt{{R}_{2}}$時(shí)，即R₂=R_L=3Ω，功率最大，
所以P_m=$\frac{1}{4}{I}^{2}{R}_{L}$=$\frac{1}{4}×0．{6}^{2}×3$W=0.27W
答：（1）斜面傾角a為37°，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為1T；
（2）整個(gè)電路產(chǎn)生的電熱為28.2J；
（3）若只改變電阻箱R₂的值．當(dāng)R₂為3Ω時(shí)，ab勻速下滑中R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率為0.27W．

點(diǎn)評 本題是力電綜合題，首先要從力學(xué)的角度分析ab棒的運(yùn)動情況，掌握電路知識、電磁感應(yīng)知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)求極值的方法研究電路中極值問題，對數(shù)學(xué)知識的能力要求較高，要加強(qiáng)訓(xùn)練，培養(yǎng)解決綜合題的能力．