Question

18．如圖所示，質(zhì)量為m、內(nèi)壁光滑的半圓形軌道靜止在水平地面上，O為其圓心，P為軌道上一點(diǎn)，其中OP與OA的夾角為θ．將一質(zhì)量為m的小物塊由圖中的A點(diǎn)處靜止釋放．求：
（1）當(dāng)小物塊運(yùn)動到容器的P點(diǎn)時(shí)，小物塊對半圓形軌道的壓力；
（2）小物塊下滑過程中，θ為何值時(shí)，地面對半圓形軌道的摩擦力最大．

Answer 1

分析 （1）從A到P的過程中，根據(jù)動能定理列式，在P點(diǎn)，指向圓心的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程求出半圓形軌道對物體的支持力，半圓形軌道處于靜止?fàn)顟B(tài)，受力平衡，對半圓形軌道受力分析，根據(jù)平衡條件求解摩擦力；
（2）根據(jù)共點(diǎn)力平衡求得摩擦力的摩擦力的表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)知識求得最大值的條件

解答 解：（1）從A到P得過程中，根據(jù)動能定理得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgRsinθ$
在P點(diǎn)，指向圓心的合力提供向心力，則有${F}_{N}-mgsinθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$
解得F_N=3mgsinθ
根據(jù)牛頓第三定律可知小物體對半圓軌道的壓力F′_N=3mgsinθ
（2）半圓形軌道處于靜止?fàn)顟B(tài)，受力平衡，對半圓形軌道受力分析，根據(jù)平衡條件得
地面對半圓形軌道的摩擦力f=$3mgsinθcosθ=\frac{3}{2}mgsin2θ$
當(dāng)2θ=90°時(shí)，即θ=45°時(shí)，摩擦力最大
答：（1）當(dāng)小物塊運(yùn)動到容器的P點(diǎn)時(shí)，小物塊對半圓形軌道的壓力為3mgsinθ；
（2）小物塊下滑過程中，θ為45°時(shí)，地面對半圓形軌道的摩擦力最大．

點(diǎn)評 本題主要考查了動能定理、向心力公式以及共點(diǎn)力平衡條件的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況，并能結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解極值，難度適中．