Question

2．小王同學(xué)學(xué)完電磁感應(yīng)后，用電流表自制了一臺(tái)發(fā)電機(jī)．他將電流表中指針、螺旋彈簧、表盤(pán)取下，保留磁鐵、兩磁極間的軟鐵、鐵質(zhì)圓柱、線(xiàn)圈、轉(zhuǎn)軸，另用引線(xiàn)和電刷將線(xiàn)圈與兩接線(xiàn)柱連接，如圖（甲）所示．軟鐵與鐵質(zhì)圓柱間的磁場(chǎng)都沿半徑方向，同一圓周上各點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，無(wú)磁場(chǎng)區(qū)的角度為60°，線(xiàn)圈AB、CD邊在磁場(chǎng)中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，如圖（乙）所示．線(xiàn)圈的ab邊長(zhǎng)為L(zhǎng)₁，bc邊長(zhǎng)為L(zhǎng)₂，匝數(shù)為n，線(xiàn)圈的電阻為r，外接一個(gè)額定功率為P的小燈泡（阻值恒為R），其余電阻不計(jì)，線(xiàn)圈abcd在磁場(chǎng)中繞轉(zhuǎn)軸OO′逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，如圖（丙）所示．問(wèn)：

（1）線(xiàn)圈處于圖（乙）位置時(shí)，電路中感應(yīng)電流的大�。�
（2）經(jīng)過(guò)計(jì)算從圖（乙）所示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，畫(huà)出一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的電流隨時(shí)間變化圖象（規(guī)定abcda方向?yàn)殡娏髡�方向，要求坐�?biāo)軸上標(biāo)明時(shí)間、電流值）；
（3）若這臺(tái)發(fā)電機(jī)將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的效率為η，則線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)一圈小王對(duì)發(fā)電機(jī)做了多少功？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路歐姆定律求出電流
（2）在線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中，求出各個(gè)過(guò)程的電流大小和方向，再畫(huà)出圖象
（3）根據(jù)能量守恒求出線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)一圈小王對(duì)發(fā)電機(jī)做功

解答 解：（1）ab、cd切割磁感線(xiàn)的速度為：$v=\frac{1}{2}{L}_{2}^{\;}ω$
線(xiàn)圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：$E=2nB{L}_{1}^{\;}v$
感應(yīng)電流的大小為：$I=\frac{E}{R+r}$
解得：$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$
（2）在線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周過(guò)程中，
0°-60°過(guò)程中有電流，大小為$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$，方向?yàn)樨?fù)；
60°-120°過(guò)程中沒(méi)有電流；
120°-240°過(guò)程中有電流，大小為$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$，方向?yàn)檎��?br />240°-300°過(guò)程中沒(méi)有電流；
300°-360°過(guò)程中有電流，大小為$I=\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$，方向?yàn)樨?fù)．
畫(huà)出一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)R的電流隨時(shí)間變化圖象如圖1所示

（3）設(shè)小王對(duì)發(fā)電機(jī)所做的功為${W}_{1}^{\;}$，電路中消耗的電功為${W}_{2}^{\;}$，根據(jù)題意，有
${W}_{2}^{\;}$=η${W}_{1}^{\;}$
${W}_{2}^{\;}=EI×\frac{2T}{3}$
$T=\frac{2π}{ω}$
解得：${W}_{1}^{\;}=\frac{4π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}^{2}ω}{3（R+r）η}$
答：（1）線(xiàn)圈處于圖（乙）位置時(shí)，電路中感應(yīng)電流的大小$\frac{nB{L}_{1}^{\;}{L}_{2}^{\;}ω}{R+r}$；
（2）經(jīng)過(guò)計(jì)算從圖（乙）所示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，畫(huà)出一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的電流隨時(shí)間變化圖象如圖所示；
（3）若這臺(tái)發(fā)電機(jī)將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能的效率為η，則線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)一圈小王對(duì)發(fā)電機(jī)做功$\frac{4π{n}_{\;}^{2}{B}_{\;}^{2}{L}_{1}^{2}{L}_{2}^{2}ω}{3（R+r）η}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線(xiàn)圈轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的問(wèn)題，結(jié)合比閉合電路的歐姆定律求解感應(yīng)電流，感應(yīng)電流的方向由右手定則或楞次定律判斷．