Question

3．某空間存在一豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)和圓形區(qū)域的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里，如圖所示．一質(zhì)量為m，帶電量為+q的粒子，從P點(diǎn)以水平速度v₀射入電場(chǎng)中，然后從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)．已知，帶電粒子從M點(diǎn)射入磁場(chǎng)時(shí)，速度與豎直方向成30°角，弧MN是圓周長(zhǎng)的$\frac{1}{3}$，粒子重力不計(jì)．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�
（2）圓形區(qū)域的半徑R．
（3）帶電粒子從P點(diǎn)到N點(diǎn)，所經(jīng)歷的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中僅受豎直向下的電場(chǎng)力，做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做初速度為零勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合求解．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求解R．
（3）分兩個(gè)過(guò)程分別求出時(shí)間，即可得到總時(shí)間．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中，粒子經(jīng)過(guò)M點(diǎn)時(shí)的速度大小 v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$=2v₀
豎直分速度 v_y=v₀cot30°=$\sqrt{3}{v}_{0}$
由h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2a}$，a=$\frac{qE}{m}$得
E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qh}$
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后由洛倫茲力充當(dāng)向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌跡半徑為r．
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
根據(jù)幾何關(guān)系得：R=rtan30°=$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$
（3）在電場(chǎng)中，由h=$\frac{{v}_{y}}{2}{t}_{1}$得 t₁=$\frac{2\sqrt{3}h}{3{v}_{0}}$；
在磁場(chǎng)中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t₂=$\frac{1}{6}$T=$\frac{1}{6}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$
故帶電粒子從P點(diǎn)到N點(diǎn)，所經(jīng)歷的時(shí)間 t=t₁+t₂=$\frac{2\sqrt{3}h}{3{v}_{0}}$+$\frac{πm}{3qB}$．
答：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qh}$．
（2）圓形區(qū)域的半徑R是$\frac{2\sqrt{3}m{v}_{0}}{3qB}$．
（3）帶電粒子從P點(diǎn)到N點(diǎn)，所經(jīng)歷的時(shí)間t是$\frac{2\sqrt{3}h}{3{v}_{0}}$+$\frac{πm}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了帶電粒子在混合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過(guò)受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，熟練掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)及平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式．