Question

7．如圖所示，質量為m的長木板靜置于光滑水平面，質量為3m的物塊以速度v水平沖上木板左端，物塊與木板之間的動摩擦因數為μ．在水平面的右側有一固定的豎直墻壁，木板每次與墻壁碰撞均為彈性碰撞．已知木板第一次與墻壁碰撞前物塊已相對木板靜止．設木板足夠長，物塊始終在木板上，重力加速度為g，求：
（1）木板第一次碰墻時的速度大��；
（2）物塊最終在木板上滑過的距離；
（3）木板從第一次與墻壁相碰到最終所走過的路程．

Answer 1

分析 （1）物塊與木板組成的系統動量守恒，應用動量守恒定律可以求出木板的速度．
（2）由能量守恒定律可以求出物塊在木板上滑行的距離．
（3）物塊與木板組成的系統動量守恒，應用動量守恒定律與動能定理求出木板的路程．

解答 解：（1）物塊與木板組成的系統動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：3mv=（3m+m）v₁，解得：v₁=$\frac{3}{4}$v；
（2）對系統，由能量守恒定律得：
μ•3mgl=$\frac{1}{2}$•3mv²，解得：l=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$；
（3）從第一次碰撞到第二次碰撞過程，
由動能定理得：-μ•3mgs₁′=0-$\frac{1}{2}$mv₁²，路程：s₁=2s₁′=$\frac{{v}_{1}^{2}}{3μg}$，
第二次碰撞墻壁前過程，系統動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：3mv₁-mv₁=（3m+m）v₂，解得：v₂=$\frac{1}{2}$v₁，
第2次到第3次碰撞過程，由動能定理得：-μ•3mgs₂′=0-$\frac{1}{2}$mv₂²，路程：s₂=2s₂′=$\frac{{v}_{1}^{2}}{3μg}$×$\frac{1}{4}$，
同理可得，第三次到第四次碰撞過程：s₃=$\frac{{v}_{1}^{2}}{3μg}$×（$\frac{1}{4}$）²，
…s_n=$\frac{{v}_{1}^{2}}{3μg}$×（$\frac{1}{4}$）^n-1，
總路程：s=s₁+s₂+s₃+…+s_n=$\frac{{v}^{2}}{4μg}$；
答：（1）木板第一次碰墻時的速度大小為$\frac{3}{4}$v；
（2）物塊最終在木板上滑過的距離為$\frac{{v}^{2}}{2μg}$；
（3）木板從第一次與墻壁相碰到最終所走過的路程為$\frac{{v}^{2}}{4μg}$．

點評 在應用動量守恒和功能關系解題時，注意將復雜過程分解多個簡單過程，注意狀態(tài)的選取，化繁為簡，然后根據動量守恒和功能關系列方程求解．分析清楚物體運動過程是正確解題的關鍵，解題時注意數學歸納法的應用．