Question

如圖所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑為R=15m的

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圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道．一個小球P（可看成質點）從A點的正上方距水平半徑OA高H=10m處自由落下，沿豎直平面內的軌道通過AB段．（取g=10m/s²．）
（1）試討論小球P能否到達BDO軌道的O點，并說明理由．若能，求出小球通過O點時對軌道的壓力．
（2）小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小是多少？

Answer 1

分析：（1）由牛頓第二定律求出小球到達O點的最小速度．假設小球能到達O點，此過程中只有重力對小球做功，其機械能守恒，求出小球到O點的速度．比較兩個速度，確定小球能否到達O點．若小球能到達O點，由牛頓運動定律求出小球通過O點時對軌道的壓力．
（2）小球通過O點后作平拋運動，運用運動的分解法研究水平位移與豎直位移與時間的關系，再由數學知識求出兩個位移的關系，求出時間，再求解小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小．

解答：解：（1）設小球能夠沿豎直半圓軌道運動到O點的最小速度為v_c，
有：mg=m

v 2 C

R 2

得：vC=

gR 2

=8.66m/s．
從H高處落下，由mgH =

1

2

m

v

2 0

可求出通過O點的速度為：v0=

2gH

=10

2

m/s=14.1m/s
因為v₀＞v_c，所以小球能過O點   
設小球過O點軌道對小球的作用力為F，由牛頓第二定律得：
   F+mg=m

v 2 0

R 2

解得：F=30N
由牛頓第三定律可知，小球對軌道的作用力F'=F=30N，方向豎直向上．
（2）小球通過O點后作平拋運動，設小球經時間t落到AB圓弧軌道上，
水平方向上有：x=v₀t
豎直方向有：y=

1

2

gt2
由數學關系可得：x²+y²=R²
可解得時間t=1s  （另解舍棄）
落到軌道上速度的大�。�v=

v 2 0 +g2t2

=17.32m/s
答：
（1）小球P能到達BDO軌道的O點，小球通過O點時對軌道的壓力為30N，方向豎直向上．
（2）小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小是17.32m/s．

點評：本題第（1）問是常規(guī)題，是機械能守恒與向心力的綜合應用，第（2）問難點是幾何知識的運用．