Question

15．如圖，滑雪運動員經(jīng)過一段加速滑行后從O點水平飛出，經(jīng)過3.0s落到斜坡上的A點．已知O點是斜坡的起點，斜坡與水平面的夾角θ=37°，運動員的質(zhì)量m=50kg．不計空氣阻力．
（1）A點與O點的距離L；
（2）運動員離開O點時的速度大小，以及方向；
（3）若滑雪者的速度分別為v，2v，3v且郡落到斜面上．所用時間之比，飛行水平距離之比，豎直距離之比．以及位移大小之比、速度方向有什么關(guān)系？
（4）運動何時離開斜面最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是多少？

Answer 1

分析 （1）從O點水平飛出后，人做平拋運動，水平方向上做勻速直線運動，豎直方向上做自由落體運動，根據(jù)分位移公式和位移的合成可以求得A點與O點的距離L；
（2）運動員落在斜面上時，豎直位移與水平位移之比等于tanθ，由此列式可求得時間，再求出水平距離、豎直距離、速度方向與水平方向的夾角表達(dá)式，即可求解相關(guān)比例．
（3）當(dāng)運動員的速度方向與斜面平行時，運動員離斜面最遠(yuǎn)，將速度分解求出運動時間．將運動員的平拋運動分解為平行于斜面方向與垂直于斜面方向，運動員在垂直于斜面方向做初速度為v₀sinθ，加速度大小為-gcosθ的勻減速運動，由位移公式求出運動員離斜坡的最大距離．

解答 解：（1）運動員在豎直方向做自由落體運動，
  Lsin37°=$\frac{1}{2}$gt²
所以A點與O點的距離為：
  L=$\frac{g{t}^{2}}{2sin37°}$=$\frac{10×{3}^{2}}{2×0.6}$=75m．
（2）設(shè)運動員離開O點時的速度大小為v₀．
水平位移 x=Lcos37°=v₀t
得 v₀=20m/s，速度方向水平向右．
（3）設(shè)運動員離開O點的速度為v₀，運動員在水平方向做勻速直線運動，豎直方向上做自由落體運動，落在斜面上時有：
  tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}g{t}^{2}}{{v}_{0}t}$=$\frac{gt}{2{v}_{0}}$，得 t=$\frac{2{v}_{0}tanθ}{g}$∝v₀，則時間之比為 1：2：3．
則飛行的水平距離 x=v₀t=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{g}$∝v₀²，則水平距離之比為 1：4：9．
豎直距離 y=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{2{v}_{0}^{2}ta{n}^{2}θ}{g}$∝v₀²，則豎直距離之比為 1：4：9．
位移大小 S=$\frac{x}{cosθ}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}tanθ}{gcosθ}$∝v₀²，則位移大小之比為 1：4：9．
速度方向與豎直方向的夾角正切 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$=2tanθ=定值，與初速度大小無關(guān)，則速度方向相同．
（4）設(shè)經(jīng)過時間T，運動員的速度方向與斜面平行，此時運動員離斜面最遠(yuǎn)．則有
   v_y=v₀tanθ，又v_y=gT
解得  T=1.5s
將運動員的平拋運動分解為平行于斜面方向與垂直于斜面方向，運動員在垂直于斜面方向做初速度大小為v₀sinθ，加速度大小為-gcosθ的勻減速運動，則得到
   運動員離斜坡的最大距離 S_m=v₀sinθT-$\frac{1}{2}gcosθ{T}^{2}$
代入解得 S_m=9m．
答：（1）A點與O點的距離L是75m；
（2）運動員離開O點時的速度大小是20m/s，方向水平向右；
（3）若滑雪者的速度分別為v，2v，3v且郡落到斜面上．所用時間之比是1：2：3，飛行水平距離之比是1：4：9，豎直距離之比是1：4：9，位移大小之比是1：4：9，速度方向相同．
（4）運動飛出1.5s時離開斜面最遠(yuǎn)，最遠(yuǎn)距離是9m．

點評 本題中前三小題是常規(guī)題，抓住斜面的傾角反映了位移的方向，利用豎直分位移與水平分位移的比值等于斜面傾角的正切是關(guān)鍵．第（4）問采用另一種分解方法進(jìn)行處理，也要學(xué)會．