Question

6．如圖所示，豎直放置的U形導(dǎo)軌寬為L，上端串有電阻R（導(dǎo)軌其余導(dǎo)體部分的電阻都忽略不計），磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場方向垂直于紙面向外，金屬棒ab的質(zhì)量為m，電阻為r，與導(dǎo)軌接觸良好，從靜止釋放后ab保持水平而下滑．已知導(dǎo)軌高為h．試求ab下滑的最大速度v_m及整個過程ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析 金屬棒ab向下做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度減小到0，即安培力等于重力時，速度達到最大．推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系式，再由平衡條件求解ab的最大速度，金屬桿下落的過程中，機械能減少轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒求解r所產(chǎn)生的熱能．

解答 解：ab開始向下加速運動，隨著速度的增大，感應(yīng)電動勢E、感應(yīng)電流I、安培力F都隨之增大，ab所受的合力減小，加速度隨之減�。�當F增大到與重力相等時，加速度變?yōu)榱�，做勻速直線運動，這時ab達到最大速度，
由F=BIL、I=$\frac{E}{R+r}$、E=BLv_m得：安培力F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
根據(jù)平衡條件得：mg=F
可得 mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$
解得：v_m=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
設(shè)回路產(chǎn)生的總熱量為Q．根據(jù)能量守恒定律得：mgh-Q=$\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$
可得 Q=mgh-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
所以r所產(chǎn)生的焦耳熱為${Q}_{r}=\frac{r}{R+r}Q$=$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{（R+r）}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}（\frac{r}{R+r}）$．
答：ab下滑的最大速度為$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，整個過程ab棒中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{（R+r）}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}（\frac{r}{R+r}）$．

點評 決本題的關(guān)鍵運用牛頓第二定律分析出金屬棒的運動情況，知道當加速度為0時，速度最大．并能熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式，難度適中．