Question

11．在納米技術(shù)中需要移動(dòng)式修補(bǔ)原子，必須使在不停地做熱運(yùn)動(dòng)（速率約幾百米每秒）的原子幾乎靜止下來(lái)且能在一個(gè)小的空間區(qū)域內(nèi)停留一段時(shí)間．為此華裔諾貝爾物理獎(jiǎng)得主朱棣文發(fā)明了“激光致冷”技術(shù)．若把原子和入射光子看成兩個(gè)小球，則“激光致冷”與下述力學(xué)模型類似．一質(zhì)量為M的小球A以速度v₀水平向右運(yùn)動(dòng)，如圖所示，一個(gè)動(dòng)量大小為P的小球B水平向左射向小球A并與之發(fā)生碰撞，當(dāng)兩球形變量最大時(shí)形變量突然被鎖定一段時(shí)間△T，然后突然解除鎖定使小球B以大小相同的動(dòng)量p水平向右彈出．緊接著小球B再次以大小為p的動(dòng)量水平向左射向小球A，如此不斷重復(fù)上述過(guò)程，小球B每次射入時(shí)動(dòng)量大小為p，彈出時(shí)動(dòng)量大小也為p，最終小球A將停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)地面光滑，除鎖定時(shí)間△T外，其他時(shí)間均可不計(jì)．求：
（1）小球B第一次入射后再?gòu)棾鰰r(shí)，小球A的速度大小和這一過(guò)程中小球A動(dòng)能的減少量．
（2）從小球B第一次入射開(kāi)始到小球A停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小球射入小車和從小車中彈出的過(guò)程中，小球和小車所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列式可求得小車的速度大�。�并能求小車動(dòng)能的減少量；
（2）小球第二次入射和彈出的過(guò)程小球和小車所組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．由動(dòng)量守恒定律得出小球被彈出時(shí)小車的速度，運(yùn)用歸納法分析得出小球重復(fù)入射和彈出的次數(shù)n．即求出從小球第一次入射開(kāi)始到小車停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間

解答 解：（1）小球B射入和彈出的過(guò)程中，小球B與小球A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：Mv₀-p=Mv′₁，Mv′₁=Mv₁+p，
由以上兩式解得：v₁=v₀-$\frac{2p}{M}$，
此過(guò)程中小球A動(dòng)能的減少量為：△E_k=$\frac{1}{2}$Mv₀²-$\frac{1}{2}$Mv₁²=2p（v₀-$\frac{p}{M}$）；
（2）小球第二次入射和彈出的過(guò)程及以后重復(fù)進(jìn)行的過(guò)程中，小球B與小球A組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：Mv₁-p=Mv′₂，Mv′₂=m=Mv₂+p，
由以上兩式解得：v₂=v₁-$\frac{2p}{M}$=v₀-2×$\frac{2p}{M}$，
同理可推得：v_n=v₀-n×$\frac{2p}{M}$，
要使小球A車停下來(lái)，即v_n=0                        
小球B重復(fù)入射和彈出的次數(shù)為：n=$\frac{M{v}_{0}}{2p}$，
小球A停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間為：t=n×△T=$\frac{M{v}_{0}}{2p}$△T；
答：（1）小球B第一次入射后再?gòu)棾鰰r(shí)，小球A的速度大小為v₀-$\frac{2p}{M}$，這一過(guò)程中小球A動(dòng)能的減少量為2p（v₀-$\frac{p}{M}$）．
（2）從小球B第一次入射開(kāi)始到小球A停止運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間為：$\frac{M{v}_{0}}{2p}$△T．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的關(guān)鍵；本題用小球與帶有彈簧碰撞的模型模擬“激光制冷”，要善于建立模型，研究過(guò)程，關(guān)鍵要運(yùn)用歸納法得到小車的速度表達(dá)式．