Question

8．如圖所示，真空中兩細(xì)束平行單色光a和b從一透明半球的左側(cè)以相同速率沿半球的平面方向向右移動(dòng)，光始終與透明半球的平面垂直．當(dāng)b光移動(dòng)到某一位置時(shí)，兩束光都恰好從透明半球的左側(cè)球面射出（不考慮光在透明介質(zhì)中的多次反射后再射出球面）．此時(shí)a和b都停止運(yùn)動(dòng)，在與透明半球的平面平行的足夠大的光屏M上形成兩個(gè)小光點(diǎn)，已知透明半球的半徑為R，對單色光a和b的折射率分別為n₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$和n₂=2，光屏M到透明半球的平面的距離為L=（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$）R，不考慮光的干涉和衍射，真空中光速為c，求：
（1）兩細(xì)束單色光a和b的距離d；
（2）兩束光從透明半球的平面入射直至到達(dá)光屏傳播的時(shí)間差△t．

Answer 1

分析 （1）由sinC=$\frac{1}{n}$求出兩束光的臨界角，由題意知道a、b兩光束射到半球圓弧上時(shí)入射角等于臨界角，由幾何知識(shí)求解兩細(xì)束單色光a和b的距離d；
（2）由v=$\frac{c}{n}$求出光在半球中傳播的速度，由幾何知識(shí)求出光在半球內(nèi)、外傳播的距離，即可求得各自傳到光屏的時(shí)間，從而得到時(shí)間差．

解答 解：（1）設(shè)a、b兩光束的臨界角分別為C₁和C₂．
則 sinC₁=$\frac{1}{{n}_{1}}$，sinC₂=$\frac{1}{{n}_{2}}$
代入解得 C₁=60°，C₂=30°
所以兩細(xì)束單色光a和b的距離 d=RsinC₁-RsinC₂=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$R
（2）a光在半球中傳播速度 v₁=$\frac{c}{{n}_{1}}$
a光在半球中傳播的時(shí)間 t₁=$\frac{Rcos{C}_{1}}{{v}_{1}}$
a光射出半球到射到光屏的距離 s₁=$\frac{L-Rcos{C}_{1}}{cos（90°-{C}_{1}）}$
a光射出半球到射到光屏的時(shí)間 t₂=$\frac{{s}_{1}}{c}$
a光射入半球到射到光屏的總時(shí)間  t_a=t₁+t₂；
聯(lián)立解得 t_a=$\frac{（3+\sqrt{3}）R}{3c}$
同理可求得b射入半球到射到光屏的總時(shí)間  t_b=$\frac{（\sqrt{3}+1）R}{c}$
故時(shí)間差△t=t_b-t_a=$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$
答：（1）兩細(xì)束單色光a和b的距離d是$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$R；
（2）兩束光從透明半球的平面入射直至到達(dá)光屏傳播的時(shí)間差△t是$\frac{2\sqrt{3}R}{3c}$．

點(diǎn)評 本題要掌握全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，能靈活運(yùn)用幾何知識(shí)求解相關(guān)角度和距離，要作出光路圖幫助解答．