5.如圖所示,一個質(zhì)量為M長為L的圓管豎直放置,頂端塞有一個可看為質(zhì)點質(zhì)量為m的彈性小球,M=4m,球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg.管從下端距地面H處自由落下,運動過程中,管始終保持豎直,每次落地后向上彈起的速度
與落地時速度大小相等,不計空氣阻力,重力加速度為g.求:
(1)管第一次落地彈起瞬間管和球的加速度大小和方向;
(2)管第一次落地彈起后,若球沒有從管中滑出,L至少多長.

分析 (1)根據(jù)v02=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度.根據(jù)牛頓第二定律分別求出管反彈后,球和管的加速度,從而得知球相對于管的加速度,以管為參考系,根據(jù)速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移,即可求解.
(2)根據(jù)管上升的加速度,以及相對加速度分別求出管從碰地到它彈到最高點所需時間和管從碰地到與球相對靜止所需的時間,比較兩個時間知道球與管的運動情況,從而明確管子的最小長度.

解答 解:(1)由牛頓第二定律,管第一次落地彈起時,管的加速度為:
${a_1}=\frac{f+4mg}{4m}=2g$,方向向下 
球的加速度為:${a_2}=\frac{f-mg}{m}=3g$,方向向上 
(2)球與管第一次碰地時速度由$v_0^2=2gH$可得:
${v_0}=\sqrt{2gH}$
同理可得碰地后管的速度為:${v_1}=\sqrt{2gH}$,方向向上;
球的速度為:${v_2}=\sqrt{2gH}$,方向向下.
若球剛好沒有從管中滑出,設(shè)經(jīng)過時間t,球管速度v相同,取向上為正方向,則有:
v1-a1t=-v2+a2t
解得:$t=\frac{{2{v_0}}}{{{a_1}+{a_2}}}=\frac{{2\sqrt{2gH}}}{5g}$
管從彈起經(jīng)t1這段時間上升的高度為:${h_1}={v_1}t-\frac{1}{2}{a_1}t_{\;}^2=\frac{12}{25}H$
球上升的高度為:${h_2}=-{v_2}t+\frac{1}{2}{a_1}t_{\;}^2=-\frac{8}{25}H$
管的長度至少為:$L={h_1}-{h_2}=\frac{4}{5}H$
答:(1)管第一次落地彈起瞬間管的加速度為2g,方向向下;球的加速度大小為3g;方向向下;
(2)管第一次落地彈起后,若球沒有從管中滑出,L至少為$\frac{4H}{5}$

點評 本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷,關(guān)鍵通過計算理清球和管的運動規(guī)律,結(jié)合牛頓第二定律和運動學(xué)公式進行求解.

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