Question

（2009?上海模擬）如圖所示，在粗糙絕緣的水平面內(nèi)，存在一豎直向下的磁場區(qū)域，磁感強(qiáng)度B沿水平向右的方向均勻增加．若在該磁場區(qū)域內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xoy，則磁感強(qiáng)度B的分布規(guī)律可表示為B=kx（x的單位為m，B的單位為T）．有一個長為L、寬為h、質(zhì)量為m、電阻為R的不變形的矩形金屬線圈，在運(yùn)動過程中始終位于磁場區(qū)域內(nèi)．當(dāng)它在該平面內(nèi)運(yùn)動時，將受到大小恒為 f 的阻力作用．
（1）要讓線圈在水平外力F的作用下，從靜止開始向右做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，求F隨時間t的變化規(guī)律．
（2）若磁場區(qū)域以速度v₁水平向左勻速運(yùn)動，線圈從靜止開始釋放，求此后線圈運(yùn)動的最大速度．
（3）若零時刻磁場區(qū)域由靜止開始水平向左做勻加速直線運(yùn)動，同時線圈從靜止開始釋放，已知在經(jīng)一段足夠長的時間后，t時刻磁場區(qū)域的速度為v_t，求t時刻線圈的速度．

Answer 1

分析：（1）線圈向右運(yùn)動的過程中，左右兩邊都切割磁感線，而且兩邊產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小不等，設(shè)線圈的右邊導(dǎo)線所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁、左邊導(dǎo)線所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，線圈中E=B₁hv-B₂hv=kLhv，求出線圈受到的安培力，由牛頓第二定律求得F與t的關(guān)系．
（2）有兩種情況：一種線圈所受的安培力小于等于最大靜摩擦力，線圈始終靜止不動；另一種安培力大于最大靜摩擦力，線圈將加速度向左動，最終勻速，速度達(dá)到最大．根據(jù)安培力與摩擦力平衡，求最大速度．要用線圈與磁場的相對速度求感應(yīng)電動勢．
（3）若零時刻磁場區(qū)域由靜止開始水平向左做勻加速直線運(yùn)動，同時線圈從靜止開始釋放，線圈在安培力的作用下，線圈先向左做加速運(yùn)動，當(dāng)線圈與磁場的速度之差恒定時，線圈將做勻加速運(yùn)動，所以線圈的加速度最終與磁場的加速度相同，根據(jù)牛頓第二定律求t時刻線圈的速度．

解答：解：（1）設(shè)線圈的右邊導(dǎo)線所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁、左邊導(dǎo)線所在位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，則E=B₁hv-B₂hv=kLhv

線圈所受的安培力 F_A=（B₁-B₂）

E

R

h
由牛頓第二定律可得：F-F_A-f=ma
即得  F-(B1-B2)

E

R

h-f=ma
又  v=at 
得，F(xiàn)隨時間t的變化規(guī)律為 F=ma+f+

(kLh)2

R

at
（2）若FA=

(kLh)2v

R

≤f時，線圈將始終靜止不動．
    若FA=

(kLh)2v

R

＞f時，線圈將加速度向左動，最終勻速．
設(shè)線圈勻速時的速度為v′，則有    

(kLh)2(v-v′)

R

=f
解得   v′=v-

fR

(kLh)2

（3）線圈的加速度最終與磁場的加速度相同，即  a=

vt

t

．  
設(shè)t時刻線圈的速度為v″，則

(kLh)2(vt-v″)

R

-f=ma
解得
v″=v_t-

(f+m vt t )R

(kLh)2

答：
（1）要讓線圈在水平外力F的作用下，從靜止開始向右做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，F(xiàn)隨時間t的變化規(guī)律為 F=ma+f+

(kLh)2

R

at．
（2）若磁場區(qū)域以速度v₁水平向左勻速運(yùn)動，線圈從靜止開始釋放，此后線圈運(yùn)動的最大速度v-

fR

(kLh)2

．
（3）t時刻線圈的速度為v_t-

(f+m vt t )R

(kLh)2

．

點評：本題首先正確確定線圈中感應(yīng)電動勢，注意左右兩邊都切割磁感線產(chǎn)生電動勢．其次當(dāng)磁場與線圈有相對運(yùn)動時，要用相對速度求感應(yīng)電動勢，難點的是分析線圈的運(yùn)動情況．