Question

2．傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數(shù)為k，自然長度為L₀的輕質(zhì)彈簧相連，彈簧的另一端連接著質(zhì)量為m的物塊，壓縮彈簧使其長度為$\frac{{L}_{0}}{4}$時將物塊由靜止開始釋放，重力加速度為g，求：
（1）物塊處于平衡位置時彈簧的長度L；
（2）證明物塊做簡諧運動；
（3）求彈簧的最大伸長量x．

Answer 1

分析 （1）物塊處于平衡位置時，受重力、支持力和彈簧的彈力，三力平衡，根據(jù)平衡條件和胡克定律列式求解；
（2）抓住x表示物塊相對于平衡位置的位移，根據(jù)牛頓第二定律推導回復力是否滿足F=-kx，從而證明；
（3）簡諧運動具有對稱性，先求解出振幅，然后確定最大伸長量x．

解答 解：（1）物塊處于平衡位置時，受重力、支持力和彈簧的彈力，此時彈簧的彈力等于重力沿斜面分力，由平衡條件得
  k△x=mgsinα
故彈簧的伸長量△x=$\frac{mgsinα}{k}$
所以彈簧長度 L=L₀+△x=L₀+$\frac{mgsinα}{k}$
（2）取沿斜面向下方向為x軸正方向建立x軸，原點在平衡位置．
當物塊的位移大小為x時，彈簧伸長量為x+△x，物塊所受合力為：
  F_合=mgsinα-k（x+△x）
結合k△x=mgsinα
聯(lián)立以上各式可得：F_合=-kx
可知物塊作簡諧運動．
（3）根據(jù)簡諧運動的對稱性，壓縮彈簧使其長度為$\frac{{L}_{0}}{4}$時將物塊由靜止開始釋放，故其振幅為：
  A=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+△x=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$
故其最大伸長量為：x=A+△x=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{mgsinα}{k}$+$\frac{mgsinα}{k}$=$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$
答：
（1）物塊處于平衡位置時彈簧的長度L是L₀+$\frac{mgsinα}{k}$；
（2）證明見上；
（3）彈簧的最大伸長量x是$\frac{3{L}_{0}}{4}$+$\frac{2mgsinα}{k}$．

點評 本題考查牛頓第二定律和胡克定律的綜合運用，關鍵是理清過程，確定出平衡位置，得出振幅的大小是解決本題的關鍵．