Question

4．如圖所示，足夠長的光滑軌道DQ和半徑為R的光滑半圓形軌道ABC在豎直平面內(nèi)，與水平軌道QC分別相切于Q、C點，Q到C點的距離為2R．質(zhì)量為m的滑塊（視為質(zhì)點）從軌道上的P點由靜止滑下，剛好能運動到Q點．已知∠POC=60°，求：
（1）滑塊滑至半圓形軌道最低點C時對軌道的壓力大��；
（2）滑塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)；
（3）現(xiàn)將滑塊從軌道DQ上某點靜止釋放，要使滑塊第一次能經(jīng)過半圓形軌道ABC而不脫離軌道，釋放點離水平軌道的高度必須滿足的條件；
（4）若從軌道DQ上離水平軌道的高度h=$\frac{9}{8}$R位置靜止釋放，滑塊最終靜止在距Q多遠處？

Answer 1

分析 （1）由P到C的過程，根據(jù)機械能守恒定律求出滑塊滑至C點時的速度，在C點，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力，從而得到滑塊對軌道的壓力．
（2）對P→C→Q過程，運用動能定理求動摩擦因數(shù)．
（3）要使滑塊第一次能經(jīng)過半圓形軌道ABC而不脫離軌道，有兩種情形：一種：滑塊能通過最高點A．另一種：滑塊最高到達B點．由牛頓第二定律求出最高點的臨界速度，由動能定理求解．
（4）結(jié)合上題結(jié)果，對整個過程，運用動能定理求解．

解答 解：（1）設(shè)滑塊滑至C點時的速度為v_C，此時半圓軌道對滑塊的支持力為F_N
由P到C的過程，由機械能守恒定律得：mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_c²，
在C點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=2mg，
（2）對P→C→Q的過程，由動能定理得：
  mgR（1-cos60°）-μmg•2R=0，
代入數(shù)據(jù)解得：μ=0.25；
（3）滑塊恰好能通過A點時，有 mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由動能定理有 mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+2mgR+μmg•2R
解得 h₁=3R
所以釋放點離水平軌道的高度 h≥3R．
若滑塊恰好滑到B點，由動能定理得
  mgh₂-mgR-μmg•2R=0
解得 h₂=$\frac{3}{2}$R
若滑塊恰好滑到C點，由動能定理得
  mgh₃-μmg•2R=0
解得 h₂=$\frac{1}{2}$R
所以釋放點離水平軌道的高度 $\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R
綜上所述，釋放點離水平軌道的高度必須滿足的條件是：h≥3R或$\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R．
（4）當h=$\frac{9}{8}$R時，由于$\frac{1}{2}$R＜$\frac{9}{8}$＜$\frac{3}{2}$R，所以滑塊最高點位于PC之間．
根據(jù)動能定理得：
  mg•$\frac{9}{8}$R-μmgs=0
解得 x=4.5R
所以滑塊最終靜止在距Q0.5R遠處．
答：
（1）滑塊滑至半圓形軌道最低點C時對軌道的壓力大小是2mg；
（2）滑塊與水平軌道間的動摩擦因數(shù)是0.25；
（3）要使滑塊第一次能經(jīng)過半圓形軌道ABC而不脫離軌道，釋放點離水平軌道的高度必須滿足的條件是：h≥3R或$\frac{1}{2}$R＜h＜$\frac{3}{2}$R；
（4）滑塊最終靜止在距Q0.5R遠處．

點評 本題綜合運用了動能定理和能量守恒定律，解決本題的關(guān)鍵靈活選取研究的過程，明確臨界條件，選用適當?shù)囊?guī)律進行求解．