Question

9．《割繩子》是一款時(shí)下深受人們喜愛的益智類小游戲，故事也相當(dāng)有趣，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間剪斷適當(dāng)?shù)睦K子，讓繩子上綁著的糖果掉入綠豆蛙嘴里．難度在于，必須計(jì)劃好讓糖果在掉落的過程中，吃到所有的星星．下圖為某一關(guān)卡的游戲框架簡(jiǎn)圖，其中O₁、O₂為同一直線上固定繩子的兩個(gè)釘子，繩長(zhǎng)l₁，A點(diǎn)為糖果繞O₂運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)，BC為表面光滑的滑塊，與水平方向夾角為 θ，BC長(zhǎng)為 l₃，CD為動(dòng)摩擦因數(shù)μ的草地．（糖果可視為質(zhì)點(diǎn)，取重力加速度g=10m/s²）

（1）若割斷繩子使糖果在A點(diǎn)水平拋出，求此時(shí)糖果對(duì)繩子的拉力．
（2）若糖果拋出后剛好落到滑塊頂端，并沿滑塊斜面下滑，求A點(diǎn)與滑塊頂端B點(diǎn)的水平距離l₂的大�。�
（3）若在B點(diǎn)碰撞前后糖果速度大小不變，CD間草地滿足什么關(guān)系綠豆蛙才能順利吃到糖果？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理和向心力公式聯(lián)合求解
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求A點(diǎn)與滑塊頂端B點(diǎn)的水平距離l₂的大小
（3）先根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出平拋的豎直位移，再根據(jù)動(dòng)能定理求出CD間的距離

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：$mg{l}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$①
根據(jù)向心力公式：$T-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{l}_{1}^{\;}}$②
得到T=3mg
由牛頓第三定律得，糖果對(duì)繩子拉力T′=3mg
（2）由平拋運(yùn)動(dòng)速度方向與水平方向夾角 $tanθ=\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{x}^{\;}}=\frac{gt}{{v}_{A}^{\;}}$
可得$t=\frac{{v}_{A}^{\;}tanθ}{g}$
則${l}_{2}^{\;}={v}_{A}^{\;}•t=\frac{{v}_{A}^{2}tanθ}{g}=2{l}_{1}^{\;}tanθ$
（3）設(shè)平拋運(yùn)動(dòng)位移與水平方向夾角為α，則有tanθ=2tanα
可平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向位移為 $h={l}_{1}^{\;}ta{n}_{\;}^{2}θ$
設(shè)CD間距離為x，糖果運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)速度減為0時(shí)x最大，
對(duì)A-D運(yùn)動(dòng)過程應(yīng)用動(dòng)能定理
$mgh-μmg{l}_{3}^{\;}cosθ-μmgx=0-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 $x=\frac{{l}_{1}^{\;}}{μcosθ}-{l}_{3}^{\;}cosθ$
答：（1）此時(shí)糖果對(duì)繩子的拉力為3mg．
（2）A點(diǎn)與滑塊頂端B點(diǎn)的水平距離l₂的大小為$2{l}_{1}^{\;}tanθ$．
（3）若在B點(diǎn)碰撞前后糖果速度大小不變，CD間草地滿足關(guān)系$x=\frac{{l}_{1}^{\;}}{μcosθ}-{l}_{3}^{\;}cosθ$綠豆蛙才能順利吃到糖果

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵運(yùn)動(dòng)過程的分析，正確運(yùn)用物理規(guī)律，綜合考查了向心力公式、動(dòng)能定理及平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有一定的難度．