Question

4．滑板運動員在U形槽中的運動可以簡化成一個物塊在半徑為R的半圓弧槽中的運動，半圓弧槽始終靜止不動，若物塊在半圓弧槽最低點B的速度為v₀，物塊的質量為m，物塊與圓弧槽的動摩擦因數(shù)為μ，求：
（1）物塊在最低點對半圓弧槽的壓力；
（2）物塊在圓弧槽最低點的加速度大小．
（3）若物塊在C點對圓弧槽的壓力大小等于mg，則物塊從C點拋出后經多長對間還能回到C點？

Answer 1

分析 （1）物塊在最低點時，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對物塊的支持力，再由牛頓第三對半圓弧槽的壓力；
（2）由a_n=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$求物塊在圓弧槽最低點時的向心加速度大小，由牛頓第二定律求出切向加速度大小，再合成求加速度大小．
（3）物塊在C點時由軌道的彈力提供向心力，由牛頓第二定律求物塊經過C點時的速度，之后物體作豎直上拋運動，由運動學公式求時間．

解答 解：（1）物塊在最低點時，由牛頓第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得：N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律得物塊在最低點對半圓弧槽的壓力為：
N′=N=mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）物塊在圓弧槽最低點時的向心加速度大小為：a_n=$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
切向加速度大小為：a_T=$\frac{μN}{m}$=μ（g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$）
故所求的加速度大小為：a=$\sqrt{{a}_{n}^{2}+{a}_{T}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}+{μ}^{2}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}}$
（3）設物塊經過C點時的速度為v．由牛頓第二定律得：N_C=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由題有：N_C=mg
得：v=$\sqrt{gR}$
所以物塊從C點拋出后回到C點的時間為：t=$\frac{2v}{g}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
答：（1）物塊在最低點對半圓弧槽的壓力是mg+m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$；
（2）物塊在圓弧槽最低點的加速度大小是$\sqrt{（\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}+{μ}^{2}（g+\frac{{v}_{0}^{2}}{R}）^{2}}$．
（3）物塊從C點拋出后經2$\sqrt{\frac{R}{g}}$時間還能回到C點．

點評 解決本題的關鍵要明確物塊在最低點時向心力來源：合力提供向心力，要注意物塊在最低點的加速度是由合力產生，要運用正交分解法求合加速度．