Question

15．如圖所示，斜面直軌道是粗糧的，大、小圓軌道光滑且均與斜面直軌道相切，切點(diǎn)分別為C、B，圓形軌道的出人口錯(cuò)開(kāi)，大、小圓軌道的最高點(diǎn)跟斜面的最高點(diǎn)在同一水平線(xiàn)上，斜面直軌道的傾角為60°．今有一質(zhì)量為m的小球自A以初速度v₀沿斜面滑下，運(yùn)動(dòng)到B后進(jìn)入小圓形軌道，接著再沿斜面下滑進(jìn)人大圓形軌道運(yùn)動(dòng)，小球與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求：
（1）若小球恰能到達(dá)大圓軌道的最高點(diǎn)，則v₀應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？
（2）在v₀滿(mǎn)足（1）的前提條件下，求小球在小圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求出大圓的半徑，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的臨界速度，通過(guò)動(dòng)能定理求出初速度應(yīng)滿(mǎn)足的條件．
根據(jù)動(dòng)能定理求出小球在小圓軌道最高點(diǎn)的速度，從而根據(jù)牛頓第二定律求出彈力的大小

解答 解：（1）設(shè)C處圓形軌道的半徑為R′，
則由幾何關(guān)系可知，A到B處圓軌圓心的距離為$A{O}_{1}=\frac{R}{sin30°}$，
而且$\frac{R′}{3R+R′}=sin30°$，
解得R′=3R，
斜面軌道AB=$Rcot30°=\sqrt{3}R={s}_{1}$，①
$AC=3Rcot30°=3\sqrt{3}R={s}_{2}$  ②
小球由A到C處圓形軌道的最高點(diǎn)的過(guò)程由動(dòng)能定理有：
$-μmgcos60°•{s}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$   ③
由于小球恰能到達(dá)C處圓軌道的最高點(diǎn)，故v=$\sqrt{gR′}$．  ④
聯(lián)立①②③④解得${v}_{0}=\sqrt{6gR}$．    ⑤
（2）設(shè)小球到達(dá)B處圓形軌道的最高點(diǎn)的速度為v₁，
小球由A到B處圓形軌道最高點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理有：
$-μmgcos60°•{s}_{1}=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$   ⑥
設(shè)小球在B處圓形軌道最高點(diǎn)受軌道壓力為F_N，
由牛頓第二定律可知，${F}_{N}+mg=\frac{{mv}_{1}^{2}}{R}$    ⑦
聯(lián)立①⑤⑥⑦解得F_N=4mg．
答：（1）小球恰能到達(dá)大圓軌道的最高點(diǎn)，則v₀應(yīng)滿(mǎn)足大于等于$\sqrt{6\sqrt{R}}$；
（2）小球在小圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)受到的軌道的彈力大小是4mg

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵，本題對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練