Question

17．如圖所示，在水平桌面上有一半徑R=0.8m、豎直放置的光滑圓弧軌道MNQ，MN為豎直直徑，OQ連線與MN夾α=53．角．在光滑圓弧軌道左側(cè)放有一傾角為θ=37°的固定斜面，Q點(diǎn)到斜面的豎直邊的距離為d=0.6$\sqrt{4.2}$R．現(xiàn)在斜面的底端有一質(zhì)量為m的電動(dòng)小車（大小可忽略），小車與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．現(xiàn)電動(dòng)小車以恒定功率P₀沿著斜面向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小車到達(dá)斜面最高時(shí)水平飛出，同時(shí)關(guān)閉電動(dòng)裝置，速率不變．過一段時(shí)間后進(jìn)入球面的Q點(diǎn)沿著球面運(yùn)動(dòng)，剛好能到達(dá)球面的最高點(diǎn)M．
試求：

（1）小車通過Q點(diǎn)時(shí)速度大小．
（2）斜面最高點(diǎn)離水平面的高度．
（3）小車在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）小車到達(dá)M點(diǎn)時(shí)由重力充當(dāng)向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出M點(diǎn)的速度，從Q到M，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求得Q點(diǎn)的速度．
（2）小球從B到Q做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式和到達(dá)B點(diǎn)的速度沿圓弧切線方向求了平拋運(yùn)動(dòng)下落的高度，結(jié)合幾何關(guān)系解答．
（3）小車在斜面運(yùn)動(dòng)時(shí)，由動(dòng)能定理求時(shí)間．

解答 解：（1）小車到達(dá)M點(diǎn)時(shí)速度v_M滿足：mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$ ①
小車從Q運(yùn)動(dòng)到M的過程中滿足機(jī)械能，則
  $\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$+mgR（1+cos53°） ②
由①②解得 v_Q=$\sqrt{4.2gR}$
（2）令小車從B點(diǎn)飛出時(shí)水平初速度為v₀，BQ間的豎直高度為y，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得
  d=v₀t ③
  y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$ ④
又 v₀=v_Qcos53° ⑤
由③④⑤解得 y=0.5R
則斜面最高點(diǎn)離水平面的高度 h=y+R（1-cos53°）=0.9R
（3）小車在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)間滿足：
  P₀t-mgh-μmgcos37°×1.5R=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  ⑥
解得 t=$\frac{2.3mgR}{{P}_{0}}$
答：
（1）小車通過Q點(diǎn)時(shí)速度大小是$\sqrt{4.2gR}$．
（2）斜面最高點(diǎn)離水平面的高度是0.9R．
（3）小車在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)間是 $\frac{2.3mgR}{{P}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到多個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，關(guān)鍵要把握每個(gè)過程的規(guī)律和臨界狀態(tài)的條件，知道小車到達(dá)M點(diǎn)時(shí)由重力充當(dāng)向心力，小車到達(dá)B點(diǎn)的速度沿圓弧切線方向．