Question

16．1986年2月20日，發(fā)射升空的“和平號”空間站，在服役15年后于2001年3月23日墜落在南太平洋．“和平號”風(fēng)風(fēng)雨雨15年里鑄就了輝煌業(yè)績，已成為航天史上的永恒篇章，“和平號”空間站總質(zhì)量137t，工作容積超過400m³，是迄今為止人類探索太空規(guī)模最大的航天器，有“人造天宮”之稱．在太空運行的這一“龐然大物”按照地面指令準(zhǔn)確墜落在預(yù)定海域，這在人類歷史上還是第一次，“和平號”空間站正常行動時，距離地面平均高度大約為350km，為了保證空間站最終安全墜落，俄羅斯航天局地面控制中心對空間站的運行做了精心安排和控制．在墜落前空間站已經(jīng)順利進入指定的低空軌道，此時“和平號”距離地面的高度大約為240km，在“和平號”沿指定的低空軌道運行時，其軌道高度平均每晝夜降低2.7km．設(shè)“和平號”空間站正常運行時沿高度為350km圓形軌道運行，墜落前在高度為240km的指定圓形低空軌道運行．而且沿指定的低空軌道運行時，每運行一周空間站高度變化很小，因此，計算時對空間站的每一周的運動都可以作為勻速圓周運動處理．
（1）空間站沿正常軌道運行時的加速度與沿指定的低空軌道運行時加速度大小的比值多大？計算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字
（2）空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均變化多大？計算中取地球半徑R=6.4×10×3km，計算結(jié)果保留一位有效數(shù)字．

Answer 1

分析 （1）不論空間站沿正常軌道運行，還是沿指定的低空軌道運行，萬有引力是空間站運行時的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma，得a=$G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$．加速度與軌道半徑的平方成反比，代入數(shù)據(jù)求比值．
（2）萬有引力提供空間站運行時的向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，不計地球自轉(zhuǎn)的影響，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，則空間站在指定的低空軌道空間站運行的周期為T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，代入數(shù)據(jù)可計算出T的值．每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運行圈數(shù)為n=$\frac{24h}{T}$，所以空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均減小△h=$\frac{2.7km}{n}$，代入數(shù)據(jù)計算即可．

解答 解：（1）不論空間站沿正常軌道運行，還是沿指定的低空軌道運行，萬有引力是空間站運行時的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=ma
空間站運行時向心加速度是a=$G\frac{M}{{r}_{\;}^{2}}$，空間站沿正常軌道運行時的加速度與在沿指定的低空軌道運行的半徑分別為：
r₁=R+h₁=6.75×10³km；
r₂=R+h₂=6.64×10³km；
加速度大小的比值是 $\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{6.6{4}_{\;}^{2}}{6.6{5}_{\;}^{2}}=0.98{4}_{\;}^{2}=0.97$
（2）萬有引力提供空間站運行時的向心力，有G$\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}$=m$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$r
不計地球自轉(zhuǎn)的影響，根據(jù)G$\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$=mg，有GM=R²g
則空間站在指定的低空軌道空間站運行的周期為：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=2π $\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=2×3.14 $\sqrt{\frac{（6.64×1{0}_{\;}^{6}）_{\;}^{3}}{（6.4×1{0}_{\;}^{6}）_{\;}^{2}×10}}$s=5.3×10³s；
一晝夜的時間為t=24h，則每晝夜空間站在指定的低空軌道繞地球運行圈數(shù)為：
n=$\frac{t}{T}$≈16
空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均減�。�
△h=$\frac{2.7km}{n}$=$\frac{2.7km}{16}$≈2×10^-1km．
答：（1）空間站沿正常軌道運行時的加速度與沿指定的低空軌道運行時加速度大小的比值0.97
（2）空間站沿指定的低空軌道運行時，每運行一周過程中空間站高度平均變化$2×1{0}_{\;}^{-1}km$

點評 本題要求知道解決天體運動問題的一般方法：萬有引力提供向心力；星球表面的重力等于萬有引力．同時要注意第二問的結(jié)果要求保留1位有效數(shù)字，這是容易出錯的地方，要小心．