Question

（2012?昌平區(qū)二模）1932年，勞倫斯和利文斯設(shè)計(jì)出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如圖（甲）所示，置于高真空中的D形金屬盒半徑為R，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過(guò)的時(shí)間可以忽略不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與盒面垂直．A處粒子源產(chǎn)生的粒子，質(zhì)量為m、電荷量為+q，初速度為0，在加速器中被加速，加速電壓為U．加速過(guò)程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比；
（2）求粒子從靜止開(kāi)始加速到出口處所需的時(shí)間t和粒子獲得的最大動(dòng)能E_km；

（3）近年來(lái)，大中型粒子加速器往往采用多種加速器的串接組合．例如由直線加速器做為預(yù)加速器，獲得中間能量，再注入回旋加速器獲得最終能量．n個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增大的金屬圓筒和一個(gè)靶，它們沿軸線排列成一串，如圖（乙）所示（圖中只畫(huà)出了六個(gè)圓筒，作為示意）．各筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端．整個(gè)裝置放在高真空容器中．圓筒的兩底面中心開(kāi)有小孔．現(xiàn)有一電量為q、質(zhì)量為m的正離子沿軸線射入圓筒，并將在圓筒間的縫隙處受到電場(chǎng)力的作用而加速（設(shè)圓筒內(nèi)部沒(méi)有電場(chǎng)）．縫隙的寬度很小，離子穿過(guò)縫隙的時(shí)間可以不計(jì)．已知離子進(jìn)入第一個(gè)圓筒左端的速度為v₁，且此時(shí)第一、二兩個(gè)圓筒間的電勢(shì)差U₁-U₂=-U．為使打到靶上的離子獲得最大能量，各個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？并求出在這種情況下打到靶上的離子的能量．

Answer 1

分析：（1）由動(dòng)能定理可以求出粒子在電場(chǎng)中加速而獲得的速度，由牛頓第二定律可以求出粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）求出粒子加速的次數(shù)，然后求出粒子獲得的最大動(dòng)能；求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，然后求出粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）由動(dòng)能定理可以求出筒的長(zhǎng)度與粒子獲得的動(dòng)能．

解答：解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁，
粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：qU=

1

2

mv₁²，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qv₁B=m

v 2 1

r1

，
解得：r1=

1

B

2mU q

；
同理可得，粒子第2次經(jīng)過(guò)狹縫后的半徑r2=

1

B

2m?2U q

則r₁：r₂=1：

2

；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期，被電場(chǎng)加速兩次．
設(shè)粒子到出口處被加速了n次，由動(dòng)能定理得：nqU=

1

2

m

v

2 m

，
由牛頓第二定律得：qv_mB=m

v 2 m

R

，解答：v_m=

qBR

m

，n=

qB2R2

2mU

，
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T=

2πm

qB

，
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t=

n

2

T=

πBR2

2U

，
所以，粒子獲得的最大動(dòng)能E_km=

1

2

m

v

2 m

=

q2B2R2

2m

；
（3）為使正離子獲得最大能量，要求離子每次穿越縫隙時(shí)，前一個(gè)圓筒的電勢(shì)比后一個(gè)圓筒的電勢(shì)高U，
這就要求離子穿過(guò)每個(gè)圓筒的時(shí)間都恰好等于交流電的半個(gè)周期．由于圓筒內(nèi)無(wú)電場(chǎng)，離子在筒內(nèi)做勻速運(yùn)動(dòng)．
設(shè)v_n為離子在第n個(gè)圓筒內(nèi)的速度，第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度為Ln=vn?

T

2

=

vn

2f

，

1

2

m

v

2 n

-

1

2

m

v

2 1

=(n-1)qU，
解得：vn=

2(n-1)qU m + v 2 1

，第n個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足條件Ln=

1

2f

2(n-1)qU m + v 2 1

（n=1，2，3，…），
打到靶上的離子的能量為

E

kn

=(n-1)qU+

1

2

m

v

2 1

（n=1，2，3，…）；
答：（1）粒子第1次和第2次經(jīng)過(guò)兩D形盒間狹縫后軌道半徑之比為1：

2

．
（2）粒子從靜止開(kāi)始加速到出口處所需的時(shí)間t=

πBR2

2U

，粒子獲得的最大動(dòng)能E_km=

q2B2R2

2m

；
（3）為使獲得最大能量，各個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足條件是：Ln=

1

2f

2(n-1)qU m + v 2 1

（n=1，2，3，…），
在這種情況下打到靶上的離子的能量為

E

kn

=(n-1)qU+

1

2

m

v

2 1

（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng)：回旋加速器中的電場(chǎng)起加速作用，磁場(chǎng)起偏轉(zhuǎn)作用；電場(chǎng)的周期應(yīng)與粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等．