Question

如圖，在區(qū)域內(nèi)存在與xy平面垂直的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小為B。在t=0時刻，一位于坐標(biāo)原點的粒子源在xy平面內(nèi)發(fā)射出大量同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與y軸正方向的夾角分布在0～180°范圍內(nèi)。已知沿y軸正方向發(fā)射的粒子在t=t₀時刻剛好從磁場邊界上點離開磁場。求：
（1）粒子在磁場中做圓周運動的半徑R及粒子的比荷q/m；
（2）此時刻仍在磁場中的粒子的初速度方向與y軸正方向夾角的取值范圍；
（3）從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場所用的時間。

Answer 1

解：（1）初速度沿y軸的正方向的粒子在磁場中的運動軌跡如圖1所示：

粒子沿y軸的正方向進(jìn)入磁場，從P點經(jīng)過，作OP的垂直平分線與x軸的交點為圓心C，在直角三角形中有
解得，
則粒子做圓周運動的的圓心角為120°，周期為T=3t₀
粒子做圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得，
化簡得
（2）依題意，同一時刻仍在磁場內(nèi)的粒子到O點距離相同。在t₀時刻仍在磁場內(nèi)的粒子應(yīng)位于以O(shè)為圓心、OP為半徑的弧MN上，如圖2所示：

設(shè)此時位于P、M、N三點的粒子的初速度分別為v_P、v_M、v_N。由對稱性可知：v_P與OP、v_M與OM、v_N與ON的夾角均為60°，設(shè)v_M、v_N與y軸的夾角分別為θ_M、θ_N，由幾何關(guān)系有：θ_M=60°，θ_N=120°
對于所有此時刻仍在磁場內(nèi)的粒子，其初速度與y軸的正方向的夾角范圍應(yīng)滿足60°≤θ≤120°
（3）在磁場中運動時間最長的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場的右邊界相切，其軌跡如圖3所示：

在三角形OO'E中，兩個相等的腰為
而它的高是
半徑O'E與y軸的的夾角是30°，這種粒子的圓心角是240°，所用時間為2t₀
所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時間為2t₀