Question

（2013?浙江模擬）近年來(lái)，越來(lái)越高的摩天大廈在世界各地落成．日本東京的千年塔設(shè)計(jì)170層、840米高，而由西班牙著名建筑設(shè)計(jì)大師哈韋爾皮奧斯設(shè)計(jì)的上�！俺�群大廈”甚至將高達(dá)1249.9米．然而，至今普遍使用的鋼索吊掛式電梯已經(jīng)不再適臺(tái)這樣的高度，因?yàn)樾枰�的鋼索太長(zhǎng)、太重會(huì)因承受不了自身的重量而斷裂．為此德國(guó)亞琛工業(yè)大學(xué)的科研人員設(shè)計(jì)出了一種磁動(dòng)力電梯，其原理是利用移動(dòng)的磁場(chǎng)來(lái)帶動(dòng)電梯向上或向下運(yùn)動(dòng)．工作原理可簡(jiǎn)化如下：如圖所示，PQ和MN是兩根平行豎直軌道，軌道間有垂直軌道平面的等大反向勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁和B₂，B₁=B₂=1T，兩磁場(chǎng)可向上作勻速運(yùn)動(dòng)．電梯轎廂固定在金屬框abcd內(nèi)（轎廂未畫(huà)出）．現(xiàn)己知電梯載人時(shí)的總質(zhì)量為m=1.0×10⁴kg，運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力f=1000N，金屬框垂直軌道的邊長(zhǎng)L_cd=2m，兩磁場(chǎng)的寬度均與金屬框的邊長(zhǎng)L_ac相同，金屬框的總電阻為R=1.0×10^-3Ω，某時(shí)段磁場(chǎng)以v₀=10m/s的速度向上勻速運(yùn)動(dòng)，g=10m/s²求：
（1）電梯速度為零時(shí)，它的加速度為多大？
（2）電梯最后向上勻速運(yùn)動(dòng)的速度為多大？
（3）電梯向上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，外界提供的能量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娞輽C(jī)械能的效率？

Answer 1

分析：（1）電梯速度為零時(shí)，相對(duì)于磁場(chǎng)的速度為v₀，線(xiàn)框的上下兩邊都切割磁感線(xiàn)，求出安培力的大小，通過(guò)牛頓第二定律求出電梯的加速度．
（2）金屬框勻速上升時(shí)，ab、cd兩均切割磁感線(xiàn)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，兩邊均受到安培力，根據(jù)平衡條件和右手定則可確定感應(yīng)電流的大小和方向．由歐姆定律和感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式求出磁場(chǎng)向上運(yùn)動(dòng)速度v₀的大�。�
（3）根據(jù)功率公式求出重力、阻力和電熱功率，進(jìn)而求出效率．

解答：解：（1）切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=2BLv₀    ①
根據(jù)歐姆定律得，I=

E

R

              ②
則F_A=2BIL ③
根據(jù)牛頓第二定律得，a=

FA-mg-f

m

        ④
代入數(shù)據(jù)解得a=5.9m/s²
（2）令最后電梯運(yùn)動(dòng)速度為v，則有
E′=2BL（v₀-v）  ⑤
根據(jù)歐姆定律得，I′=

E′

R

      ⑥
F_A′=2BI′L=mg+f    ⑦
代入數(shù)據(jù)解得v=3.7m/s  
（3）外界提供的能量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娞輽C(jī)械能的效率η=

mgv

mgv+fv+I′2R

×100%=37%．
答：（1）電梯速度為零時(shí)，它的加速度為5.9m/s²．
（2）電梯最后向上勻速運(yùn)動(dòng)的速度為3.7m/s．
（3）電梯向上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，外界提供的能量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娞輽C(jī)械能的效率為37%．

點(diǎn)評(píng)：本題是理論聯(lián)系實(shí)際的問(wèn)題，與磁懸浮列車(chē)模型類(lèi)似，關(guān)鍵要注意磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)框相對(duì)于磁場(chǎng)向下運(yùn)動(dòng)，而且上下兩邊都切割磁感線(xiàn)，產(chǎn)生兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)，兩個(gè)邊都受安培力．