Question

如圖所示，有兩條平行的水平軸線x₁、x₂相距為d，在上方有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為2B，在x₂下方有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B；在x₁和x₂之間有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．一質(zhì)量為m，帶正電荷量為q的微粒從x₁軸上的O點(diǎn)以速度v₀，豎直向上射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中，其后該微粒將多次穿越x₁和x₂軸，若微粒的重力不計(jì)，電場(chǎng)強(qiáng)度E 滿足：E=

3m v 2 0

2qd

，求：
（1）從O點(diǎn)射入后，微粒第2次經(jīng)過(guò)x₁軸時(shí)與O點(diǎn)的距離；
（2）微粒從O點(diǎn)射入后到第4次通過(guò)x₁軸線所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中，洛倫茲力提供向心力，寫(xiě)出方程，與粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的公式即可求出微粒第2次經(jīng)過(guò)x₁軸時(shí)與O點(diǎn)的距離；
（2）微粒每次向下穿越電場(chǎng)作加速運(yùn)動(dòng)，從v₀到2 v₀，而向上穿越電場(chǎng)作減速運(yùn)動(dòng)，又從2v₀到 v₀，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式和粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式，即可求得微粒從O點(diǎn)射入后到第4次通過(guò)x₁軸線所用的時(shí)間．

解答：解：（1）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中，洛倫茲力提供向心力得：qv0?2B=

m v 2 0

r1

    所以：r1=

mv0

2qB

在勻強(qiáng)電場(chǎng)中   v2-

v

2 0

=2

qE

m

d
因?yàn)?span id="gi4xbez" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">E=

3m v 2 0

2qd

所以v=2v₀    
在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ中    r2=

2mv0

qB

所以微粒第二次經(jīng)過(guò)x₁軸時(shí)與O點(diǎn)的距離為x=2r₁+2r₂=

5mv0

qB

（2）微粒每次向下穿越電場(chǎng)作加速運(yùn)動(dòng)，從v₀到2 v₀，而向上穿越電場(chǎng)作減速運(yùn)動(dòng)，又從2v₀到 v₀，所用的時(shí)間均為t₁
由d=

v0+v

2

t1，得t1=

2d

3v0

在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅰ中T1=

2πm

2qB

在勻強(qiáng)磁場(chǎng)Ⅱ中T2=

2πm

qB

第4次經(jīng)過(guò)x₁軸的時(shí)間：t₄=T₁+T₂+4t₁=

3πm

qB

+

8d

3v0

答：（1）從O點(diǎn)射入后，微粒第2次經(jīng)過(guò)x₁軸時(shí)與O點(diǎn)的距離是

5mv0

qB

；
（2）微粒從O點(diǎn)射入后到第4次通過(guò)x₁軸線所用的時(shí)間

3πm

qB

+

8d

3v0

．

點(diǎn)評(píng)：該題的情景類似于回旋加速器，粒子在電場(chǎng)中加速和在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)相交替，方向清楚題目的情景，寫(xiě)出相關(guān)的公式即可解題．該題要具備運(yùn)動(dòng)的知識(shí)遷移能力．